Question

x*(dy/dx)-y+(x^2-y^2)^(1/2)=0 求方程的解

Answer 1

x(dy/dx)-y+√(x²-y²)=0 ；求方程的通解。
解：dy/dx=y/x-[√(x²-y²)]/x=y/x-√[1-(y/x)²]
令y/x=u，则y=ux，dy/dx=u+x(du/dx)；
代入原式得u+x(du/dx)=u-√(1-u²)
消去u，得x(du/dx)=-√(1-u²)
分离变量得du/√(1-u²)=-dx/x
积分之得arcsinu=-ln∣x∣+ln∣c∣=ln∣c/x∣
即u=sin[ln∣c/x∣]，代入y=ux，即得原方程的通解为y=xsin[ln∣c/x∣]

追问

答案上ln|x|前加了一个sgnx。

追答

请把答案写完整。sgn是拉丁文”符号“(signnm)一字的缩写。
当x>0时sgnx=1；当x=0时sgnx=0；当x<0时sgnx=-1.

追问

答案上是 arcsin(y/x)=sgnx*ln∣x∣+c
还有一个版本的书的答案是arcsin(y/x)=ln∣x∣+c

追答

把积分常量ln∣c∣写成c，即得arcsin(y/x)=c-ln∣x∣
把通解写成arcsin(y/x)=c+sgnx*ln∣x∣
是因为-π/2≦arcsin(y/x)≦π/2；
当x0时arcsin(y/x)应取正角；当x=0时arcsin(y/x)应取零角。
其实这有点故弄玄虚。

Answer 2

xdy-ydx+(x^2-y^2)^(1/2)dx=0
(xdy-ydx)/(x^2-y^2)^(1/2)+dx=0
d(y/x)/[1-(y/x)^2]^(1/2)+dx=0
arcsin(y/x)+x=C
y=xsin(C-x)

追问

谢谢啊，但是答案不对。

追答

少除了一个x
xdy-ydx+(x^2-y^2)^(1/2)dx=0
(xdy-ydx)/(x^2-y^2)^(1/2)+dx/x=0
d(y/x)/[1-(y/x)^2]^(1/2)+dx/x=0
arcsin(y/x)+lnx=C
y=xsin(C-lnx)

追问

我算出来的和你一样，但是答案上ln|x|前加了一个sgnx。

追答

解微分方程一般不需考虑这些小节。先解出来再说。

追问

但是有个版本的书的答案直接是arcsin(y/x)=ln∣x∣+c 我算的也是arcsin(y/x)+lnx=C
怎么算都不对。难道是教材的问题？

追答

是教材的问题。