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图片中高中数学题第21题,求具体解题过程,谢谢!
打错了,不懂的是第20题,求解答过程.对于本人粗心给热心网友造成不小的麻烦深表歉意!第二问末尾是是否总是相等?若是,请给出证明!...
打错了,不懂的是第20题,求解答过程.对于本人粗心给热心网友造成不小的麻烦深表歉意!第二问末尾是是否总是相等?若是,请给出证明!
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第一个问题:
设A、B的坐标分别为(m,p)、(n,q)。
∴PA的方程为mx/4+py/3=1,PB的方程为nx/4+qy/3=1。
∵PA、PB均过点P(1,2),∴m/4+2p/3=1、n/4+2q/3=1。
由m/4+2p/3=1,得:点A(m,p)在直线x/4+2y/3=1上。······①
由n/4+2q/3=1,得:点B(n,q)在直线x/4+2y/3=1上。······②
由①、②,得:直线x/4+2y/3=1过点A、B,∴AB的方程是x/4+2y/3=1,即3x+8y-12=0。
第二个问题:
不失一般性,设点A在点B的左侧。
令椭圆的右焦点为E,作点E关于PB的对称点C,再作点F关于PA的对称点D。
延长PA至任意一点G、延长PB至任意一点H。
∵PG切椭圆于A,∴∠PAE=∠GAF,又显然有∠GAF=∠GAD,∴∠PAE=∠GAD,
∴E、A、D共线,∴DE=AD+AE,显然有AD=AF,∴DE=AF+AE=2a=4。
∵PH切椭圆于B,∴∠PBF=∠HBE,又显然有∠HBE=∠HBC,∴∠PBF=∠HBC,
∴F、B、C共线,∴FC=BF+BC,显然有BE=BC,∴FC=BF+BE=2a=4。
显然有PD=PF、PE=PC,又DE=FC=4,∴△PDE≌△PFC,∴∠PFB=∠PDA。
显然有∠PDA=∠PFA,而∠PFB=∠PDA,∴∠PFA=∠PFB。
设A、B的坐标分别为(m,p)、(n,q)。
∴PA的方程为mx/4+py/3=1,PB的方程为nx/4+qy/3=1。
∵PA、PB均过点P(1,2),∴m/4+2p/3=1、n/4+2q/3=1。
由m/4+2p/3=1,得:点A(m,p)在直线x/4+2y/3=1上。······①
由n/4+2q/3=1,得:点B(n,q)在直线x/4+2y/3=1上。······②
由①、②,得:直线x/4+2y/3=1过点A、B,∴AB的方程是x/4+2y/3=1,即3x+8y-12=0。
第二个问题:
不失一般性,设点A在点B的左侧。
令椭圆的右焦点为E,作点E关于PB的对称点C,再作点F关于PA的对称点D。
延长PA至任意一点G、延长PB至任意一点H。
∵PG切椭圆于A,∴∠PAE=∠GAF,又显然有∠GAF=∠GAD,∴∠PAE=∠GAD,
∴E、A、D共线,∴DE=AD+AE,显然有AD=AF,∴DE=AF+AE=2a=4。
∵PH切椭圆于B,∴∠PBF=∠HBE,又显然有∠HBE=∠HBC,∴∠PBF=∠HBC,
∴F、B、C共线,∴FC=BF+BC,显然有BE=BC,∴FC=BF+BE=2a=4。
显然有PD=PF、PE=PC,又DE=FC=4,∴△PDE≌△PFC,∴∠PFB=∠PDA。
显然有∠PDA=∠PFA,而∠PFB=∠PDA,∴∠PFA=∠PFB。
追问
(1)∴∠PAE=∠GAF是怎么得到的?;(2)“∴∠PAE=∠GAD,∴E、A、D共线”烦展开详细解释一下
追答
(1)
这是由椭圆的光学性质得到的,从一个焦点发出的光线,经椭圆的反射,都集中到另一个焦点上。光线在反射时,入射角=反射角,自然它们的余角也相等。
(2)
∵P、A、G共线,∴∠PAE=∠GAD时就意味着这两个角是对顶角,∴E、A、D共线。
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