Question

图片中高中数学题第21题，求具体解题过程，谢谢！

打错了，不懂的是第20题，求解答过程.对于本人粗心给热心网友造成不小的麻烦深表歉意！第二问末尾是是否总是相等？若是，请给出证明！

Answer 1

第一个问题：
设A、B的坐标分别为（m，p）、（n，q）。
∴PA的方程为mx/4＋py/3＝1，PB的方程为nx/4＋qy/3＝1。
∵PA、PB均过点P（1，2），∴m/4＋2p/3＝1、n/4＋2q/3＝1。
由m/4＋2p/3＝1，得：点A（m，p）在直线x/4＋2y/3＝1上。······①
由n/4＋2q/3＝1，得：点B（n，q）在直线x/4＋2y/3＝1上。······②
由①、②，得：直线x/4＋2y/3＝1过点A、B，∴AB的方程是x/4＋2y/3＝1，即3x＋8y－12＝0。

第二个问题：
不失一般性，设点A在点B的左侧。
令椭圆的右焦点为E，作点E关于PB的对称点C，再作点F关于PA的对称点D。
延长PA至任意一点G、延长PB至任意一点H。
∵PG切椭圆于A，∴∠PAE＝∠GAF，又显然有∠GAF＝∠GAD，∴∠PAE＝∠GAD，
∴E、A、D共线，∴DE＝AD＋AE，显然有AD＝AF，∴DE＝AF＋AE＝2a＝4。

∵PH切椭圆于B，∴∠PBF＝∠HBE，又显然有∠HBE＝∠HBC，∴∠PBF＝∠HBC，
∴F、B、C共线，∴FC＝BF＋BC，显然有BE＝BC，∴FC＝BF＋BE＝2a＝4。

显然有PD＝PF、PE＝PC，又DE＝FC＝4，∴△PDE≌△PFC，∴∠PFB＝∠PDA。
显然有∠PDA＝∠PFA，而∠PFB＝∠PDA，∴∠PFA＝∠PFB。

追问

（1）∴∠PAE＝∠GAF是怎么得到的？；（2）“∴∠PAE＝∠GAD，∴E、A、D共线”烦展开详细解释一下

追答

（1）
这是由椭圆的光学性质得到的，从一个焦点发出的光线，经椭圆的反射，都集中到另一个焦点上。光线在反射时，入射角＝反射角，自然它们的余角也相等。
（2）
∵P、A、G共线，∴∠PAE＝∠GAD时就意味着这两个角是对顶角，∴E、A、D共线。