Question

用定积分计算心形线r=a(1-cosθ)的面积。

Answer 1

结果为：

解题过程如下：

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

扩展资料

性质：

任何一根连续的线条都称为曲线。包括直线、折线、线段、圆弧等。处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

以曲线的全部或确定的一段作为研究对象时，就得到曲线的整体的几何性质。设曲线C的参数方程为r=r(s)，s∈【α,b)】，s为弧长参数,若其始点和终点重合r(α)=r(b))，这时曲线是闭合的，称为闭曲线。若它在这点的切向量重合，即r┡(α)=r┡(b))，且自身不再相交。

Answer 2

如图

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

考虑半个心形线（θ属于0到180度），每一段弧元（ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2)）绕极轴转成一个梯形环面元，面积等于2πR*ds，R是该弧到极轴的距离：
R=rsinθ.
所以立体的侧面积就是：
2πRds的积分，把上面的R和ds代入，并利用条件代入r的表达式。
结果得到一个不太复杂的形式：
2sqrt(2)πa^2(1+cosθ)^(3/2)dθ
把积分变量代换成θ/2，可以比较容易地解出定积分式:
16πa^2*（x-x^3/3），x=sin(θ/2)
总的表面积是从0到π的积分。当然，如果说心形线凹进去的部分不算侧面积，只要求出沿极轴方向离顶点最远的点的θ=2π/3,
并把它做为积分上限即可。
结果分别是：
(32πa^2)/3
和
6sqrt(3)πa^2
望采纳。

Answer 5

心形曲线r=a(1+cosb) 形状是绕了一圈 他的定义域是[0,2π]
但是他关于x轴对称
我们求面积的话,只要求上半部分就好了 因为下面的面积和上面一样
所以我们只做[0,π]上的面积,再前面乘以那个2 就行了.