Question

已知等差数列an的前n项和为sn,公差d不等于0，且s3+s5=50,a1,a4,a13成等比中项 (1)求数列an的通项公式(2

已知等差数列an的前n项和为sn,公差d不等于0，且s3+s5=50,a1,a4,a13成等比中项 (1)求数列an的通项公式(2)bn÷an是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn

Answer 1

S3=(a1+a3)x3/2=(a1+a1+2d)x3/2=3a1+3d
S5=(a1+a5)x5/2=(a1+a1+4d)x5/2=5a1+10d
所以 8a1+13d=50

因为 a1*a13=a4*a4
所以 a1*(a1+12d)=(a1+3d)²
所以 12d*a1=6d*a1+9d²
所以 6d*a1=9d²
所以 2a1=3d
所以 8a1=12d
代入8a1+13d=50，得25d=50，从而d=2
所以 a1=3
所以 an=2n+1

因为 bn/an=3^(n-1)
所以 bn=(2n+1)*3^(n-1)
所以 Tn=b1+b2+b3+...+bn
Tn= 3*1 + 5*3 + 7*3^2 + 9*3^3 +...+(2n+1)*3^(n-1)
所以 3Tn= 3*3 + 5*3^2 + 7*3^3 + 9*3^4 +...+(2n+1)*3^n
两式错位相减，得： 2Tn= -3*1 -2*[3 + 3^2 + 3^3 +...+ 3^(n-1)] + (2n+1)*3^n
2Tn= -3 -2*3*[1-3^(n-1)]/(1-3) + (2n+1)*3^n
2Tn= 2n*3^n
Tn= n*3^n