Question

矩形纸片ABCD的边长AB=4,AD=2,将矩形纸片沿EF折叠，使点A与C重合

（1）求证：①△CEF是等腰三角形；②△CGF≌△CBE。
（2）求CF的长
（3）折叠后在其一面着色（如图，求着色部分的面积。

Answer 1

（1）

证明：

①

∵ABCD是矩形

∴AB||CD

∴∠FEA=∠EFC

∵翻折

∴∠FEA=∠FEC

∴∠EFC=∠FEC

∴CF=CE

∴△CEF是等腰三角形

②

∵翻折

∴CG=AD

∵ABCD是矩形

∴AD=BC

∴CG=BC

∵CF=CE

∠B=∠G=90°

∴△CGF≌△CBE（HL)

(2)

设DF=x，则FG=x，FC=4-x，

∵AD=2，
∴GC=2，
连接AC，交EF于P

∵EF是折痕，
∴EF垂直平分AC，
∴PF=PE，AE=CE=FC=4-x，
在Rt△FCG中，FC²=FG²+GC²，即（4-x）²=x²+2²

x=3/2

CF=4-3/2=5/2

(3)

∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴S着色=S四边形BCFE+S△CGF，
=1/2*S矩形ABCD+S△CGF

=1/2*4*2+1/2*3/2*2

=4+3/2

=11/2

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Answer 2

将矩形纸片沿EF折叠，使点A与C重合，说明EF⊥AC，并EF、AC互相平分。

（1）①、在△CFO和△CEO中，OF=OE，CO=CO，∠COF=∠COE=90°

∴△CFO≌△CEO，∴CF=CE。

∴△CEF是等腰三角形。

②、在△CGF和△CBE中，CG=AD=CB，CF=CE，∠CGF=∠CBE=90°

∴△CGF≌△CBE。

（2）求CF的长

在△COF和△ACD中，∠OCF=∠ACD，∠COF=∠CDA=90°，∴△COF∽△ACD，

∴对应边成比例，CF/AC=CO/DC。其中 AC=√(16+4)=√20=2√5，CO=AC/2=√5；DC=AB=4。

CF=(CO*AC)/DC=(2√5*√5)/4=10/4=2.5

（3）

着色部分的面积=(S-四边形ABCD)/2+S△CGF=(4x2)/2+2(4-2.5)/2=4+1.5=5.5