Question

已知函数f(x)=x²+ax+b的值域为[0，正无穷]，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m,m+6),则实数c为？

Answer 1

楼主你好！很高兴为你解答：
由题意可得：f(x)的最小值必须为0，由抛物线的图像可得，最小值即为其最低点，所以函数f(x)与x轴只有一个焦点。
因此方程x²+ax+b=0的判别式为a^2-4b=0
f(x)＜c的解集为（m，m+6），即为f(x)-c=0的两根分别为m，m+6；（与上述类似，由抛物线图像性质得出）
故两根|x1-x2|=6，两边同平方得：(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=6^2=36
由1元2次方程的韦达定理有：x1+x2=-a，x1*x2=b-c
即为a^2-4(b-c)=36，
故c=9
此类题型应该紧密结合函数图像进行求解，同时1元2次方程的韦达定理也是常用的工具之一，个人的经验之谈，楼主参考~
这样解说希望楼主能理解，不清楚的话欢迎追问交流，希望能帮到楼主~