Question

已知函数f(x)满足2f(x)+f(1/x)=3x,求f(x)的解析式

我知道解法是将x与1/x互换
但不明白为什么可以这么换~~
而且最不明白的是为什么3x换成了x分之3，原理是什么呢~，请详细讲一下，谢谢!
重点是x分之3的问题，请注意一下。。。

Answer 1

x和1/x不是简单的互换，因为原式是对任意的未知数都是成立的,x只是在这里充当一个代号或者说是一个名字的作用。所以当将未知数换成1/x也是成立的，这里的1/x是一个新的未知数，或者说y=1/x。原式代入x也好，代入y也好都是成立的。如果将y代入原式就建立一个新的等式关系。利用者两个等式进行相加减获得的等式也是恒成立的。就是利用这种原理消除1/x，得到f(x)的解析式。这种方法也叫轮换。

Answer 2

2f(x)+f(1/x)=3x ----(1)
令x=1/t 得
2f(1/t)+f(t)=3/t 等效于
f(x)+2f(1/x)=3/x----(2)
(1)*2-(2)得
3f(x)=6x -3/x
所以
f(x)=2x -1/x
代入（1）验证正确

Answer 3

当 x = y 时:
f(y) + 2f(1/y) = 3y *

当 x = 1/y 时:
f(1/y) + 2f(y) = 3/y <=> 2f(1/y) + 4f(y) = 6/y **

两式相减得:

-3f(y) = 3y - 6/y
f(y) = 2/y -y

即:
f(x) = 2/x - x

PS: 关于补充, 可以这样理解.
x = 1/y 代入表达式.
老师做这题时说f(1/y)+2f(y)=3乘1/y