Question

关于导数的题目

关于导数的题目求第二问的答案步骤

Answer 1

（1）因为g(x)在R上连续
所以g(x)在x=0点上连续
即lim(x->0)g(x)=g(0)
lim(x->0)f(x)/x=a
因为f(x)在R上二阶导数连续，且f(0)=0
所以根据洛必达法则，lim(x->0)f'(x)=a
a=f'(0)
（2）因为g(x)在R上一阶导数连续，所以g(x)在R上连续，由上题结论，可得确定的a值为f'(0)
因为当x≠0时，g(x)=f(x)/x，g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2，显然g'(x)在x≠0上连续
现在证明当a=f'(0)时，g'(x)在x=0点上连续
g'(0)=lim(t->0) [g(t)-g(0)]/t
=lim(t->0) [f(t)/t-f'(0)]/t
=lim(t->0) [f(t)-tf'(0)]/t^2
=lim(t->0) [f'(t)-f'(0)]/2t
=f''(0)/2
因为lim(x->0) g'(x)=lim(x->0) [xf'(x)-f(x)]/x^2
=lim(x->0) [f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/2x
=lim(x->0) f''(x)/2
=f''(0)/2
=g'(0)
所以当a=f'(0)时，g'(x)在x=0点上连续
即g(x)在R上一阶导数连续