Question

数学分析，题目如图。跪求大神详细解答。

具体过程可以手写拍下来私信发我

Answer 1

（1）令F(x)=∫(0,x)f(t)dt-∫(x,1)1/f(t)dt
因为f(x)在[0,1]上连续，所以F(x)也在[0,1]上连续
因为f(t)>0，所以
F(0)=-∫(0,1)1/f(t)dt<0
F(1)=∫(0,1)f(t)dt>0
所以根据连续函数介值定理，存在a∈(0,1)，使得F(a)=0
又因为F'(x)=f(x)+1/f(x)>0，所以F(x)在[0,1]上严格单调递增
所以x=a是方程F(x)的唯一零点
即存在唯一的a∈(0,1)，使得∫(0,a)f(t)dt=∫(a,1)1/f(t)dt
（2）对任意自然数n，令Fn(x)=∫(1/n,x)f(t)dt-∫(x,1)1/f(t)dt
与题（1）同理可证，存在唯一的xn∈(1/n,1)⊆(0,1)，使得∫(1/n,xn)f(t)dt=∫(xn,1)1/f(t)dt
假设存在不同的自然数n1和n2，使得Fn1(x)和Fn2(x)的零点均为xn'，则
∫(1/n1,xn')f(t)dt=∫(xn',1)1/f(t)dt=∫(1/n2,xn')f(t)dt
∫(1/n1,1/n2)f(t)dt=0
因为f(t)>0，所以∫(1/n1,1/n2)f(t)dt>0，与上述结论矛盾
所以Fn(x)的零点xn随n的变化而变化，结合xn的存在唯一性结论，以及题（1）的结论
得知：求函数零点的映射g：{Fn(x),F(x)}->{xn,a}为一一映射
因为lim(n->∞)Fn(x)=F(x)
所以lim(n->∞)xn
=lim(n->∞)g[Fn(x)]
=g[F(x)]
=a