Question

已知函数f(x)=lnx-a^2x^2+ax

(1)求f(x)单调区间与极值
(2)f(x)在(1,正无穷)上是单调减函数，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）由定论域知，x>0;
f'(x)=1/x-2a²x+a，f''(x)=-1/x²-2a²<0,f'(x)下降，曲线向下凹。
f'(x)=0:1/x-2a²x+a=0,1-2a²x²+ax=0，2a²x²-ax-1=0，x=[a±√(a²+8a²)]/4a²=[a±3a]/4a²;
如果a=0，f(x)=lnx,x>0,单调增函数；
a>0,x>0,f'(x)=0,x=[1±3]/4a=1/a,0<x<1/a,增；x>=1/a,减；
a<0,x>0,f'(x)=0,x=[1±3]/4a=-1/2a,0<x<-1/2a,增；x>=-1/2a,减；
（2）a>0,1>=1/a,a>=1;
a<0,1>-1/2a,a<-1/2；

Answer 2

令f'(x)=0 ,解得x1=1/a ,x2=-1/2a
如果 a>0,则f'(1/a)= 0 => x∈(0,1/a) 减函数，x∈(1/a，∞) 增函数
如果 a<0,则f'(-1/2a)= 0 => x∈(0,-1/2a) 减函数，x∈(-1/2a，∞) 增函数

Answer 3

f'(x)=1/x-2a^2x+a=(-2a^2x^2+ax+1)/x=-(2a^2x^2-ax-1)/x=-(2ax+1)(ax-1)/x

(1)a>0时有f'(x)>0时有(2ax+1)(ax-1)<0,解得-1/2a<x<1/a
即单调增区间是(-1/2a,1/a),单调减区间是(-oo,-1/2a)和(1/a,+oo)
在X=-1/2a得有极小值,在x=1/a处有极大值.
(2)a<0时有 f'(x)>0时有(2ax+1)(ax-1)<0,解得1/a<x<-1/2a
即单调增区间是(1/a,-1/2a),单调减区间是(-oo,1/a)和(-1/2a,+oo)
在X=1/a处有极小值,在X=-1/2a处有极大值.
2.
(x)=lnx-a^2x^2+ax

定义域（0，正无穷）

求导f'(x)=1/x-2a^2x+a=(-2a^2x^2+ax+1)/x

令g(x)=-2a^2x^2+ax+1

分类讨论

当a不等于0时，g(x)为二次函数，开口恒为下，判别式=9a^2>0

所以g(x)的两个根x1=1/a x2=-1/(2a)

当a>0时，x2<0<x1

根据题意x1=<1,1/a=<1,a>=1

解得a>=1

当a<0时，x1<0<x2

根据题意x2=<1,-1/(2a)=<1,a=<-1/2

解得a=<-1/2

当a=0时，f(x)=lnx,不合题意

综上，a的范围是（负无穷，-1/2]并[1，正无穷）

Answer 4

先判断a的范围，然后求导啊。