Question

lim（x->0）（tanx)^sinx次

lim（x->0）（tanx)^sinx次详细一点

Answer 1

令y=(tanx)^sinx
lny=sinxlntanx

lim(x→0)lny
=lim(x→0)sinxlntanx
=lim(x→0)lntanx/cscx
这是∞/∞型，可以用洛必达法则
=lim(x→0)(1/tanx*(sec²x)/(-cotx*cscx)
=lim(x→0)-sec²x/(tanx*cotx*cscx)
=lim(x→0)-(1/cos²x)/(1/sinx)
=lim(x→0)-sinx/cos²x
=0
所以原式=e^0=1

Answer 2

接下来你可以这样继续做：
先求lim(x->π/2)[(sinx-1)tanx]极限
∵lim(x->π/2)[(sinx-1)tanx]
=lim(x->π/2)[(sinx-1)/cosx]*lim(x->π/2)(sinx)
=lim(x->π/2)(-cosx/sinx)*1
(第一个极限是0/0型，应用罗比达法则。第二个极限等于1)
=0*1
=0
∴原极限=e^0=1。