Question

已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=3，当x∈[0，1]时，f（x）=2-x，

已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=3，当x∈[0，1]时，f（x）=2-x，则f（-2007.5）的值为
A. 0.5
B. 1.5
C. -1.5
D. 1

Answer 1

"答案B
分析：先根据题目条件求出函数的周期，然后通过周期性和奇偶性将-2008.5调整到[0，1]内，即可求解．
解答：∵f（x）是定义在R上的偶函数且
f（x+1）+f（x）=3①
∴f（-x+1）+f（-x）=3，
即f（x-1）+f（x）=3②
由①②，得f（x+1）=f（x-1），∴f（x）的周期T=2，
∴f（-2007.5）=f（-2008+0.5）=f（0.5）=2-0.5=1.5．
故选B．
点评：本题是函数性质的综合应用，这一类型的题通常会涉及到周期性、单调性、奇偶性、对称性等．期中周期性的考查通常比较隐蔽，要注意挖掘题中的隐含条件（如f（x+a）=\frac{m}{f(x)}，f（x+a）=m-f（x）等都能推出函数f（x）的周期T=2a）．"