Question

高中数学求通项公式四道题求解

（1）2，5／2，13／4，33／8，81／16••••••求通项公式
（2）某等差数列是递增数列，前n项和为Sn且a1、a3、a9成等比数列S5=a5的平方，求通项公式
（3）a1=1且an+1（n+1是a的右下角）-an=3的n次方减n，求通项公式
（4）a1=1，an=n（an+1减an）n+1是a的右下角，求通项公式

Answer 1

（1）通项公式为(n*2^n-1+1)/2^n-1。就是n乘以2的n-1次方再加1，然后除以2的n-1次方。
（2）根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d及求和公式Sn=na1+n(n-1)d/2，再根据题中要求列出如下算式：①a3/a1=a9/a1；②S5=a5^2。即① (a1+2d)/a1=(a1+8d)/a1+2d，②5a1+10d=(a1+4d)^2.
解①式可以得到a1=d，带入②式得到d=3/5，因此a1=3/5，因此，通项公式为an=3/5+(n-1)*3/5，也就是an=n*3/5。
（3）据题an+1-an=3^n-n，由此可得an-an-1=3^(n-1)-(n-1),an-1-an-2=3^(n-2)-(n-2),.......a2-a1=3-1
相加可得：an-a1=[3+......+3^(n-2)+3^(n-1)]-[1+......+(n-2)+(n-1)]=[3(3^(n-1)-1)/(3-1)]-[(n-1)+(n-1)(n-2)/2]。由题a1=1，则an=1+[3/2*(3^(n-1)-1)]-[(n-1)+(n-1)(n-2)/2]，即an=3/2[3^(n-1)+1]-n-(n-1)*(n-2)/2。
（4）据题an=n(an+1减an)，整理后得到an+1=an(n+1)/n，即an+1/an=n+1/n，由此可得：an/an-1=n/n-1，an-1/an-2=n-1/n-2，......a3/a2=3/2,a2/a1=2/1，所有式子相乘，得到an/a1=n，即an=na1，而a1=1，所以通项公式为an=n。

Answer 2

解题过程及答案见附件，有问题请追问，欢迎在一起交流！