Question

高数二 求极限limtan2xtan(π/4-x) x→π/4

Answer 1

本题属于0·∞类型的极限。虽然没有直接可套用的公式，但是通过三角函数变换以及洛必达法则就可以轻松解决。

1、用三角变换tanx=sinx/cosx对式子进行化简。
tan2xtan(π/4-x)=[sin2xsin(π/4-x)]/[cos2xcos(π/4-x)]

2、考虑到极限公式limf(x)g(x)=limf(x)·limg(x)（当limf(x)与limg(x)都存在时成立），可将x→π/4时为常数1的两个因式sin2x与cos(π/4-x)直接代入计算。
得到:
lim[x→π/4]tan2xtan(π/4-x)
=lim[x→π/4][sin2xsin(π/4-x)]/[cos2xcos(π/4-x)]
=lim[x→π/4]sin(π/4-x)/cos2x

3、这样一来式子就化成了0/0型的未定式求极限，采用洛必达法则进行计算：
lim[x→π/4]sin(π/4-x)/cos2x
=lim[x→π/4][sin(π/4-x)]'/[cos2x]'
=lim[x→π/4][-cos(π/4-x)]/[-2sin2x]
=cos0/2sin(π/2)
=1/2

在许多求极限的题目中，原本给定的极限形式并不是0/0或者∞/∞这两种未定式类型，但是可以通过一系列转化使它变为这两种形式，从而利用洛必达法则或者泰勒公式去求解。

Answer 2

答案如图所示,如有不懂可以追问！

追问

根据洛必达法则可得limsin（π/4-x）/cos2x具体怎么得到讲一讲，洛必达法则我都忘了差不多l

Answer 3

Answer 4

tan2xtan(П/4-x)
= (2tanx)/(1-tanx^2) * [(1-tanx)/(1+tanx)]
= 2tanx/(1+tanx)^2

x→∏/4
lim2tanx/(1+tanx)^2 = 1/2

追问

(2tanx)/(1-tanx^2) * [(1-tanx)/(1+tanx)]是怎么得到的

追答

因为tan（π/4-x)=(1-tanx)/(1+tanx)
tan2x=(2tanx)/(1-tan²x)

相乘即可