Question

高数求极限 lim(tanx)^tan2x ，x→π/4

lntanx/cot2x到sec^2 x/tanx／-2csc^2怎么过去的

Answer 1

解：原式=lim(x->π/4){e^[tan(2x)*ln(tanx)]}
=lim(x->π/4){e^[ln(tanx)/cot(2x)]}
=e^{lim(x->π/4)[ln(tanx)/cot(2x)]}
=e^{lim(x->π/4)[(ln(tanx))'/(cot(2x))']} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^{lim(x->π/4)[(sec²x/tanx)/(-2csc²(2x))]} (分子分母分别求导数)
=e^[(2/1)/(-2*1)]
=e^(-1)
=1/e。
另一种解法：
原式=lim(x->π/4){[(1+tanx-1)^(1/(tanx-1))]^[(tanx-1)tan(2x)]}
=e^{lim(x->π/4)[(tanx-1)tan(2x)]} (应用重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=e^{lim(x->π/4)[(tanx-1)(2tanx/(1-tan²x))]} (应用正弦倍角公式)
=e^{lim(x->π/4)[(tanx-1)*2tanx/((1-tanx)(1+tanx))]}
=e^{lim(x->π/4)[(-2tanx/(1+tanx)]}
=e^[-2*1/(1+1)]
=e^(-1)
=1/e。

Answer 2

lim(x→π/4) (tanx) ^ tan2x (1+o)^∞ 类型，幂指函数，可先求其对数的极限。
令f(x) = (tanx) ^ tan2x, lnf(x) = tan2x ln(tanx) = ln(tanx) / (cot2x)
lim(x→π/4) ln(tanx) / (cot2x) 洛必达法则
= lim(x→π/4) (sec²x / tanx) / (-2 csc²2x)
= (1/2) /(-2) = -1/4
于是 lim(x→π/4) (tanx) ^ tan2x = e^(-1/4)

追问

lntanx/cot2x到sec^2 x/tanx／-2csc^2怎么过去的

追答

ln(tanx) 求导数是 (sec²x / tanx)
cot2x 求导数是 (-2 csc²2x)
洛必达法则 是在微分中值定理之后才讲的，如果初学高数，还没讲到。
lim(x→π/4) ln(tanx) / (cot2x) 洛必达法则
= lim(x→π/4) (sec²x / tanx) / (-2 csc²2x)
= (2) /(-2) = -1
于是 lim(x→π/4) (tanx) ^ tan2x
= e^(-1) = 1/e