Question

设函数f(x)对区间(a,b)内任意x和y,都满足f(x)-f(y)小于等于(x-y)^2.证明f(x)恒等于常数（a<x<b)

Answer 1

由f(x)+f(y)=f(x+y)+3,得f(x+y)=f(x)+f(y)-3
令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0)-3所以f(0)=3
令x<y,x,y属于R且令y=x+a,明显0<a所以 3<f(a)
则f(y)-f(x)=f(x+a)-f(x)=f(x)+f(a)-3-f(x)=f(a)-3>0
所以f(x)在R上为单调增函数
(2)因为f(3)=6且f(3)=f(1+1+1)=f(1+1)+f(1)-3=3f(1)-6所以f(1)=4,
且由(1)知f(x)在R上为单调增函数
所以要使f(a的平方-a-5)<4成立即要使使f(a的平方-a-5)<f(1)
即 a的平方-a-5<1解得 -2<a<3