在△ABC中,sinC=sinA+sinB÷cosA+cosB,试判断△ABC形状。
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cosA+cosB=(sinA+sinB)/sinC
a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以(sinA+sinB)/sinC=(a+b)/c
所以(b²+c²-a²)/2bc+(a²+c²-b²)/2ac=(a+b)/c
两边乘2abc
ab²+ac²-a³+a²b+bc²-b³=2a²b+2ab²
a³+b³+a²b+ab²-ac²-bc²=0
(a+b)(a²-ab+b²)+ab(a+b)-c²(a+b)=0
a+b>0
所以两边除以a+b
a²+b²-c²=0
所以是直角三角形
a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以(sinA+sinB)/sinC=(a+b)/c
所以(b²+c²-a²)/2bc+(a²+c²-b²)/2ac=(a+b)/c
两边乘2abc
ab²+ac²-a³+a²b+bc²-b³=2a²b+2ab²
a³+b³+a²b+ab²-ac²-bc²=0
(a+b)(a²-ab+b²)+ab(a+b)-c²(a+b)=0
a+b>0
所以两边除以a+b
a²+b²-c²=0
所以是直角三角形
2017-06-20
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∵sinB=sin[180°-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
又∵sinA+sinB=sinC•(cosA+cosB),
∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB,
∴sinA=sinCcosB-sinAcosC,
在△ABC中,sinA=sin(B+C),
∴sin(B+C)=sinCcosB-sinAcosC,即sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB-sinAcosC,
∴cosC(sinB+sinA)=0,
∵sinB>0,sinA>0,
∴cosC=0,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
又∵sinA+sinB=sinC•(cosA+cosB),
∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB,
∴sinA=sinCcosB-sinAcosC,
在△ABC中,sinA=sin(B+C),
∴sin(B+C)=sinCcosB-sinAcosC,即sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB-sinAcosC,
∴cosC(sinB+sinA)=0,
∵sinB>0,sinA>0,
∴cosC=0,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
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