Question

列举5道函数与方程思想及分类讨论思想在解题中的应用

Answer 1

分类讨论其实不难，远不及函数难的，关键是要考虑全面。
例3：已知长方体无盖纸盒有一个面是正方形，且已知两条棱的长度分别为4CM，5CM，求这个纸盒外面的表面积和容积。
解：无盖长方体的侧面为4个一模一样（即全等）的长方形，因此只有底面为正方形才行（若是侧面为正方形，则有4个面为正方形，这不符合题意），据此分析，分类讨论如下：
1〉当底面正方形边长为4CM时，4条侧棱长即为5CM，此时表面积
为S1=4^2+4*(4*5)=96cm^2，容积V1=4^2*5=80cm^3
2>当底面正方形边长为5CM时，4条侧棱长即为4CM，此时表面积为
S2=5^2+4*(5*4)=105cm^2,容积V2=5^2*4=100CM^3
例4：某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘）。问刻录这批光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻录费用省？请说明理由。
设需要刻录x张光盘，则
到电脑公司刻录费用为y1=8x元，若自刻录费用y2=120+4x元。
当y1＞y2时，x＞30；当y1＝y2时，x＝30；当y1＜y2时，x＜30.
正好30张时，到电脑公司刻录费用与自刻录费用一样省。
超过30张时，还是自刻录费用省。
少于30张时，到电脑公司刻录费用省。
还有一道函数分类讨论，你看看吧！
例5：若m>n>0,a>0,且a不等于1，试比较(a)m+(a)-m与(a)n+(a)-n的大小.
a^m+a^(-m)-[a^n+a^(-n)]
=(a^m-a^n)+(1/a^m-1/a^n)
=(a^m-a^n)+(a^n-a^m)/(a^m*a^n)
=(a^m-a^n)[1-1/a^(m+n)]
=(a^m-a^n){1-a^[-(m+n)]}（*）
当a>1时,由m>n>0,-(m+n)<0得到a^m>a^n,a^[-(m+n)]<1
--->a^m-a^n>0,1-a^[-(m+n)]>0
因此(*)>0,此时原式>0,所以a^m+a^(-m)>a^n+a^(-n).
当0<a<1时,由m>n>0,-(m+n)<0得到0<a^m<a^n<1,a^[-(m+n)]>1
--->a^m-a^n<0,1-a^[-(m+n)]<0
因此(*)>0,所以a^m+a^(-m)>a^n+a^(-n).
综合起来，只要a>0并且a<>1，m>n>0,都有a^m+a^(-m)>a^n+a^(-n)成立
晕吧？呵

Answer 2

例2有格式问题，请到 http://ycxydxj.blog.163.com/blog/static/886084442008730453059/edit/查看。谢谢

Answer 3

例1、已知函数y=f(x)=loga(a－kax)（a>0且a≠1，k∈R）.
（1）若f(x)的图象关于直线y=x对称，且f(2)=－2loga2，求a的值；
（2）当0<a<1时，若f(x)在[1，＋∞）内恒有意义，求k的取值范围.
分析：“f(x)的图象关于直线y=x对称”“f(x)与f－1(x)是同一函数.”
解答：（1）
由条件知f(x)与f－1(x)是同一函数，
（2）由a－kax>0得k<a1－x，经分析知函数a1－x在
[1，＋∞）内是增函数
　　∴(a1－x)min=a0=1．
　　∵f(x)在[1，＋∞）内恒有意义，
　　∴k<a1－x在[1，＋∞）内恒成立，
　　∴k<(a1－x)min，即k<1．

例2、某种名牌钢笔，每支进货价为50元，当销售价格定为每支x元，且50≤x≤80元，每天售出支数，若想每天销售获利最大，售价应定为每支多少元？最大利润是多少？
解：设售价为每支x元，则每支利润为x－50，令每天总利润y，则：
　　再用平均值不等式或求函数最值的方法求解．
解法1：（利用平均值不等式
解法2：（利用二次函数求最值）.
　　∴当y=250时，有x=60.
　　即每支售价为60元时，每天获利最大为250元.