Question

已知a^2+b^2+c^2=1,求a^3/b+b^3/a+c^3/a的最小值

Answer 1

已知a, b, c > 0, 可以证明: a^3/b+b^3/c+c^3/a ≥ a^2+b^2+c^2.
由均值不等式: 9a^3/b+3b^3/c+c^3/a
= a^3/b+a^3/b+...+a^3/b+b^3/c+b^3/c+b^3/c+c^3/a
≥ 13·(a^3/b·a^3/b·...a^3/b·b^3/c·b^3/c·b^3/c·c^3/a)^(1/13)
= 13a^2.
同理9b^3/c+3c^3/a+a^3/b ≥ 13b^2, 9c^3/a+3a^3/b+b^3/c ≥ 13c^2.
三式相加得13a^3/b+13b^3/c+13c^3/a ≥ 13a^2+13b^2+13c^2,
即a^3/b+b^3/c+c^3/a ≥ a^2+b^2+c^2.

于是, 当a^2+b^2+c^2 = 1时, 成立a^3/b+b^3/c+c^3/a ≥ 1.
而当a = b = c = √3/3时等号成立, 故a^3/b+b^3/c+c^3/a的最小值就是1.