Question

已知函数f(x)对任意的x,y属于R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)

已知函数f(x)对任意的x,y属于R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x〉0时，f(x)<0,f(1)=-2/3
证明f（x）为奇函数
判断并证明f(x)在R上的单调性
f(x)+f(y)=f(x+y)
f(-x)+f(x+y)=f(y)
两式相加f(x)+f(-x)=0,所以f(x)为奇函数
f(x)+f(1)=f(x+1)
∴f(x+1)-f(x)=f(1)=-2/3＜0
∴f(x+1)＜f(x)
∴f(x)在R上单调递减

过程正确不，错的话为什么错

Answer 1

奇偶性的证明基本没有问题。
但单调性的证明有严重的问题，单调递减的定义不是f(x+1)<f(x)
而是任意两个定义域内的点x1与x2
只要满足x1<x2
就一定有f(x1)>f(x2)

追问

x＜x+1
f（x）＞f（x+1）
这样不就满足奇函数了吗

追答

这与奇偶性有关吗

追问

我想说的是如果那样做可以证明f(x)为减函数吗？

追答

不可以，两个点之间的距离也必须是任意的，而不能规定为1

Answer 2

单调性证明有问题
正确证明如下：
假设在R内对任意x1，x2恒有x1<x2
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)>0
所以f(x1)>f(x2)
所以f(x)在R上单调递减