Question

高等数学题：求下列微分方程的通解（比较难）

求下列微分方程的通解(1) (1-x^2)y"-xy'=2 (2)y"=1/(1+x^2)

Answer 1

1、(1-x^2)y"-xy'=2令x=sinθ，p=dy/dx，则dx=cosθ*dθ则y''=dp/dx=(dθ/dx)*(dp/dθ)=secθ*(dp/dθ)代入可得cosθ*(dp/dθ)-sinθ*p=2即d(cosθ*p)=2dθ积分得cosθ*p=2θ+A而p=dy/dx=(dθ/dx)*(dy/dθ)=secθ*(dy/dθ)代入可得dy/dθ=2θ+A即dy=(2θ+A)dθ积分得y=θ^2+Aθ+B而x=sinθ，故θ=arcsinx带回得y=(arcsinx)^2+Aarcsinx+B 2、y"=1/(1+x^2)即dy'=dx/(1+x^2)令x=tanθ，则dx=[(secθ)^2]*dθ带入可得dy'=dθ积分得y'=θ+A=arctanx+A即dy/dx=arctanx+A即dy=(arctanx+A)dx积分得y=∫(arctanx+A)dx=∫arctanx*dx+Ax+B下面计算∫arctanx*dx

Answer 2

提示：（1）先解出y'，然后求y。（这个在常微分方程里是有现成的公式的）（2）y'=arctanx，通过分步积分可得到y。