Question

高数微积分求体积

Let R be the region {(x,y): 0<=x<=1, 3^x-x-1<=y<=x}. 将R沿着y=x旋转，求旋转后提的体积。

Answer 1

tmduser的回答已经很出色了（还是选tmduser的回答最优吧，因为我自己也学到很多知识），但在积分公式中，错误了一项：dS＝d((3^x - 1)/√2) = (log3  ·  3^x)/√2)dx   虽然tmduser把这一项误当作√2

但是巧合的是，最后的结果居然是一样的，世界真的是很奇妙啊：

 

tmduser的回答：       ∫π(|3^x-x-1-x|/√2)^2 *√2 dx     (x从0积到1)  

 严格来说，应该是： ∫π(|3^x-x-1-x|/√2)^2   d((3^x - 1)/√2)     (x从0积到1) 

回复tmduser的评论：  可以认为是由无数个图中薄片HP旋转得到的，每个薄片旋转一周后的微元体积为 2πr*HP/2*dx＝πr^2*√2dx          ——→ 你这个1/2 系数是哪来的？

               如果你的切片是 竖直HP  旋转中心取的是：竖直切片HP的中心，那么2πr就不严格了

              不过可以这样理解：

              唉，没有图片不好说啊，不管怎么样，结果确实是一样的，公式也没错，世界真奇妙！

 

我图片中是这样切片的，取切片是 斜的CP方向薄片，所以微元体积dV＝πr²dS

 而不是dV＝πr²dx

由此看来似乎分歧的主要地方在于：dS是否等于√2dx  其实不然，应该是切片的微元取法

再次谢谢tmduser的讨论，我很愿意同这样的人做朋友的@！ 

直接看图吧：

Answer 2

关注一下...
曲线y=3^x-x-1上的任意一点(x,y)到直线y=x的距离为：|3^x-x-1-x|/√2，
直线y=x在[0，1]区间的长度为√2，也就是说是水平距离的√2倍，
因此旋转体的体积为：
∫π(|3^x-x-1-x|/√2)^2 *√2 dx (x从0积到1)
＝π/√2 ∫ (4x^2+4x+1 + 9^x－2*3^x－4x*3^x) dx (x从0积到1)
＝π/√2 * [ (4x^3)/3+2x^2+x + 9^x/ln9－2*3^x/ln(3) －4x*3^x/ln3 + 4*3^x/(ln3)^2] (x从0积到1)
＝π/√2 *(13/3 + 8/(ln3)^2 + 8/ln9－16/ln3)
＝π/√2 *(13/3 + 8/(ln3)^2－12/ln3)
≈ 0.08607244

Answer 3

这个积分是可积的，不过超级麻烦，你自己来吧。。。。