Question

如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的点E上

当折痕的另一端F在AD边上时，试说明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长

Answer 1

解:(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴ ,∴EF=5,∴S△EFG= EF�6�1EG= ×5×10=25.
(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,
∠BGF=∠EGF,∵EF‖BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,
∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形；
连结BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴BE= =8 ，∴BO=4 ，∴FG=2OG=2 =4 。

Answer 2

连接BE与FG相交于点N∵BN=NE BG=GE BF=FE FN和NG分别为公共边∴△BNG≌△ENG △BNF≌△ENF则∠FNE=∠BNG=90°∵ABCD为矩形，有FE‖BG∴∠FEN=∠GBN∴△FNE≌△GNB∴FE=BG∴BFEG为平行四边形而已知：BG=GE BF=FE 所以：四边形BGEF为菱形。下面求FG的长：在直角三角形BAF中，AF^2=BF^2-AB^2=10^2-8^2=36AF=6同样从F做FQ⊥BC交点Q,则有QG=BG-AF=10-6=4FG^2=FQ^2+QG^2=8^2+4^2=80FG=√80=4√5