Question

已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，利用正弦定理证明AB／AC=BD／DC

Answer 1

第一种：直接用角平分线定律直接得到：AB／AC=BD／DC。第二种：正弦公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 经变形得：a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; 即： a/b=sinA/sinB.b/c=sinB/sinC a/c=sinA/sinC.在三角形ABD中：sin∠BAD : sin∠ADB =BD : AB同理得：在三角形ADC中：sin∠CAD : sin∠ADC=DC : AC因为AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD =∠CAD即sin∠BAD =sin∠CAD 又因为：∠ADB +∠CAD=180°因此 sin∠ADB =sin∠CAD。所以得到BD : AB=DC : AC 经变形得:AB／AC=BD／DC

Answer 2

在ABD中 sinADB/AB=sinBAD/BD 在ACD中 sinACD/AC=sinCAD/CD 因为AD平分角BAC 所以角BAD=角CAD 又因为角BDA+角CDA=180度 所以sinADB=sinACD sinBAD=sinCAD 所以最上面2式子相除得AC/AB=CD/BD

Answer 3

由正弦定理得； AB/BD=sinADB/sinBAD AC/CD=sinADC/sinCAD又sinADB=sinADC sinBAD=sinCAD所以 AB/BD= AC/CD即 AB／AC=BD／DC

Answer 4

在△ABD中 正弦定理知BD/sin∠BAD=AB/sin∠ADB 1式同理在△ADC中正弦定理CD/sin∠DAC=AC/sin∠ADC 2式又因为AD所以角分线sin∠BAD=sin∠DAC 而∠ADB和∠ADC互补所以/sin∠ADB=sin∠ADC1式除以2式得AB／AC=BD／DC