Question

关于二重积分如何定积分区间的问题

关于二重积分如何定积分区间的问题，在做二重积分的时候，尤其是用直角坐标系做题的时候，感觉关于积分上下线是最难确定的，因为大多数在对X积分的时候上线或下线会有Y,而什么时候该有，总确定不好，有时候是只有上线或下限有就行了，有的时候则是都要有，请问有什么好方法，因为在做后面概率的时候算二维密度，也会用到二重积分，也会牵扯到，就像f(x,y)=8xy，范围是1>=x>=0，x=y算这个二维随机变量的x和y的边缘密度

Answer 1

最主要的是把图形画正确。

X型的积分限是：x的取值范围是：从最左边到最右边，积分限中不含变量；y的取值范围是：从最下边的曲线表达式到最上边的曲线表达式，积分限一般是变量x的函数，有时不含x，是因为是平行于x轴的直线；

Y型的积分限是：y的取值范围是：从最下边到最上边，积分限中不含变量；x的取值范围是：从最左边的曲线表达式到最右边的曲线表达式，积分限一般是变量y的函数，有时不含y，是因为是平行于y轴的直线。

定积分

是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

　　最主要的是把图形画正确。
　　X型的积分限是：x的取值范围是：从最左边到最右边，积分限中不含变量；y的取值范围是：从最下边的曲线表达式到最上边的曲线表达式，积分限一般是变量x的函数，有时不含x，是因为是平行于x轴的直线；
　　Y型的积分限是：y的取值范围是：从最下边到最上边，积分限中不含变量；x的取值范围是：从最左边的曲线表达式到最右边的曲线表达式，积分限一般是变量y的函数，有时不含y，是因为是平行于y轴的直线.
　　如果遇到不是一条曲线的情况，就分段处理。

Answer 3

二重积分如何定积分区间的问题其实很容易的：
以先对y后对x积分为例：
先画出区域图形，决定图形的最左边点和最右边点x的值（a<x<b)，然后用平行于y轴的直线从下往上穿区域，先经过曲线y1(x)，后经过y2(x)，y1(x)<y<y2(x). 那么a<x<b，y1(x)<y<y2(x)就是上下限。
例如：点(0,0).(1,0),(1,1)构成的三角形区域：

图形的最左边点和最右边点x的值0,1,用平行于y轴的直线从下往上穿区域，先经过曲线y=0，后经过y=x 上下限：0<x<1 0<y<x

Answer 4

我也是常遇到这样的问题和疑惑，画出图来比划比划，先积dx，就画一条平行于x轴的直线，看看和边界的交点，dy就画一条平行于y轴的直线看看。概率也是画一画，比如P{Y≤X}就直线y=x右下方部分，先积dx，就是(y,∞)。