Question

方程组无解时，为什么增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加一？

Answer 1

这种是在非齐次方程组的情况下才成立，（因为齐次方程一定有解）
无解说明初等变换后方程组中存在矛盾方程，即0=常数
也就是增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩
假设一个方程组由5个方程组成，且无解，
它的系数矩阵的秩是3，那么在进行初等行变换的时候，有2行可以化为0，
增广矩阵是增加了一列非零数，初等变换后，只能有1行为零，另一行存在一个非零数（也就是矛盾方程），其他不变，即秩是4，所以无解时增广矩阵=系数矩阵+1
For example:
1 2 3| 7 1 2 3 1 2 3 7 1 2 3 7
2 4 6| 8 系数矩阵初等变换= 0 0 0 增广矩阵= 0 0 0 8~~ 0 0 0 8
3 6 9| 9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 9
无解时，可能存在多个矛盾方程，但是经过初等行变换之后，都可以化简为一个矛盾方程，因此
非齐次方程组无解时，增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1。

Answer 2

楼上的讲法是对的, 但最好不要从逐个方程去看矛盾.

Ax=b无解说明b不能由A的列来线性表示, 既然如此[A,b]比A增加了一列, 且新增的列又是与先前的列无关的, 秩就恰好增加1.