Question

导数问题高分求高手快速解答

（1）
求问题开头的f（x）详细求导过程（2）

这个题的详细思路，注意，是思路。尤其是第二问

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Answer 1

第一问，f(x)=h(x)/g(x),那么f'(x)=[h'(x)g(x)-h(x)g'(x)]/(g'(x)^2)
因此，f'(x)=[1/x*e^x-e^x*(lnx+k)]/e^2x=(1-kx-xlnx)/xe^x
第二问，（I）a=1，则f'(x)=1-2/x，所以x必须大于0，所以，0-2时递减，2到无穷递增
（II）同理，求导得f'(x)=2-a-2/x=0时，即x=2/(2-a)时取最小值。若2/(2-a)>=1/2，则在x=1/2时取最小值大于等于0即可，可得a>=-2，若若2/(2-a)<1/2，则在x=2/(2-a)时取最小值，代入发现此时f(x)<0，不成立，因此a>=-2，最小值为-2
（III）设g(x)=lnx，g(m)-g(n)=(m-n)*g'(k)，这里g(x)是单调递增，且增长率逐渐减小，
因此g(m)-g(n)等于mn之间的距离乘以一个平均增长率，而这个增长率必定大于g'(m)小于g'(n)
可得，1/m<(lnm-lnn)/(m-n)<1/n，取左半部，得(lnm-lnn)/(m-n)>1/m，因为m,n及各项均大于0，
上下颠倒，得(m-n)/(lnm-lnn)<m<2m

Answer 2

(1)。f(x)=(lnx+k)/e^x；f '(x)=[(e^x)(lnx+k)'-(lnx+k)(e^x)']/(e^x)²=[(e^x)/x-(lnx+k)e^x]/e^(2x)
=(e^x)(1/x-lnx-k)/e^(2x)=(1/x-lnx-k)/e^(2x)=(1-xlnx-kx)/(xe^x)

已知f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx
(1)当a=1时f(x)的单调区间
(2)若f(x)在(0，1/2)上无零点，求a的取值范围
(3)若0<n<m，求证(m-n)/(lnm-lnn)<2m
.解：f(x)的定义域：x>0.
(1)。当a=1时f(x)=x-1-2lnx；f '(x)=1-2/x=(x-2)/x；
当0<x≦2时f '≦0，故f(x)在区间[0，2]内单调减。2≦x<+∞时f '(x)≧0，故f(x)在区间[2，+∞)单调增。
(2)。f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx；
令f '(x)=2-a-(2/x)=[(2-a)x-2]/x=0，得极小点x=2/(2-a)
要使f(x)在(0，1/2)上无零点，只需2/(2-a)≧1/2且f(1/2)=(2-a)(1/2-1)-2ln(1/2)=-(1/2)(2-a)+2ln2
=-1+(a/2)+2ln2≧0；即a≧-2且a≧2-4ln2；故得a≧2-4ln2，即amin=2-4ln2.
(3).可用拉格朗日中值定理证明。
设f(x)=lnx，在[n，m](0<n<m)上连续可导，因此在区间(n，m)上至少存在一点ξ，(n<ξ<m)，使得
[f(m)-f(n)/(m-n)=f '(ξ)，即有(lnm-lnn)/(m-n)=1/ξ；也就是有(m-n)/(lnm-lnn)=ξ；n<ξ<m;
取ξ=m，则有(m-n)/(lnm-lnn)<m<2m.

Answer 3

欢迎你在头疼时想到聆听。 聆听所致信诚所在