Question

已知函数f（x）=2cos2x+sinx的平方_4cosx 求f（x）的最大值和最小值

Answer 1

f(x)=2cos(2x)+sin²x-4cosx

f(x)=2(2cos²x-1)+(1-cos²x)-4cosx

f(x)=3cos²x-4cosx-1

f(x)=3[(cosx-2/3)²-7/9]

f(x)=3(cosx-2/3)²-7/3

因为：-1≤cosx≤1

所以：0≤(cosx-2/3)²≤25/9

因此：-7/3≤3(cosx-2/3)²-7/3≤6

即：-7/3≤f(x)≤6

所求函数的最大值是6、最小值是-7/3。

方法

换元法求最值

用换元法求最值主要有三角换元和代数换元，用换元法要特别注意中间变量的范围。较为常见的是以下两种形式的换元。

判别式求最值

主要适用于可化为关于自变量的二次方程的函数。

函数单调性

先判定函数在给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值。

数形结合

主要适用于几何图形较为明确的函数，通过几何模型，寻找函数最值。

Answer 2

解：∵f(x)=2cos(2x)+sin²x-4cosx
∴f(x)=2(2cos²x－1)+(1－cos²x)－4cosx ﹙用了倍角公式、平方关系）
∴f(x)=3cos²x－4cosx－1
设t＝ cosx 则t∈ [﹣1，1]
∴y＝3t ²－4t－1
∵二次函数的对称轴 t＝2／3∈[﹣1，1]
∴当t＝2／3时，y有最小值，即最小值y＝﹣7／3
当t＝﹣1时，y有最大值，即最大值y＝6
故f（x）的最大值和最小值分别为6和﹣7／3

Answer 3

解：
f(x)=2cos(2x)+sin²x-4cosx
f(x)=2(2cos²x-1)+(1-cos²x)-4cosx
f(x)=3cos²x-4cosx-1
f(x)=3[cos²x-2×(2/3)×cosx+(2/3)²-(2/3)²-1/3]
f(x)=3[(cosx-2/3)²-7/9]
f(x)=3(cosx-2/3)²-7/3
因为：-1≤cosx≤1
所以：0≤(cosx-2/3)²≤25/9
因此：-7/3≤3(cosx-2/3)²-7/3≤6
即：-7/3≤f(x)≤6
所求函数的最大值是6、最小值是-7/3。

Answer 4