Question

急 一道分段函数求连续的题目

第二问不会做，求大神详解（最好是手写或者是软件截图，）

Answer 1

1. ……，a = f'(0)；

2. 因

      lim(x→0)[g(x) - g(0)]/x

   = lim(x→0)[f(x)/x - f'(0)]/x

   = lim(x→0)[f(x) - xf'(0)]/x^2                (0/0，用L'Hospital法则)

   = lim(x→0)[f'(x) - f'(0)]/2x

   = f"(0)/2，

得知

       g'(x) = [xf'(x) - f(x)]/x^2，x ≠ 0，

               = (1/2)f"(0)，         x = 0，

明显的，在 x ≠ 0，g'(x) 是连续的；而在 x = 0 处，

           lim(x→0)g'(x)

        = lim(x→0)[xf'(x) - f(x)]/x^2                (0/0，用L'Hospital法则)

        = lim(x→0)[f'(x) + xf"(x) - f'(x)]/2x

        = lim(x→0)f"(x)/2 

        = f"(0)/2，                                       (若有 f"(x) 在 x = 0 连续的条件)

得证。

注：好像少了条件 “ f"(x) 在 x = 0 连续”。

追问

条件没有少，我刚看了

追答

看看，换个方法求极限：
lim(x→0)g'(x)
= lim(x→0)[xf'(x) - f(x)]/x^2
= lim(x→0)[f'(x) - f'(0)]/x - lim(x→0)[f(x) - xf'(0)]/x^2
= f"(0) - f"(0)/2
= f"(0)/2，
得证。

注：这样，不需要条件 “ f"(x) 在 x = 0 连续”。