Question

设函数f(x)在x=0处可导，讨论函数|f(x)|在x=0处的可导性。

Answer 1

1. 若函数f(x)在x=0的某个邻域内不变号，
即在这个邻域内f(x)≥0恒成立，或f(x)≤0恒成立，则在这个邻域内|f(x)|=±f(x)，
显然，函数|f(x)|在x=0处可导。
2. 若函数f(x)在x=0的任意邻域内变号，
在这个邻域内，
不妨设x>0， f(x)>0，
有|f(x)|=f(x) ，这时|f(0+)|’=f’(0+)；
x<0，f(x)<0，有|f(x)|=-f(x)， 这时|f(0-)|’=-f’(0-)。
由函数f(x)在x=0处可导，知f’(0+)=f’(0-).
又由假设知，f’(0)≠0，即f’(0+)=f’(0-)≠0（不然的话，x=0是f(x)的驻点，f(x)在这点将改变增减性，与f’(0+)=f’(0-)矛盾）
所以， 函数|f(x)|在x=0处不可导。
亲，举例如下。
1. y=cosx，y=-x²。
2. y=sinx，y=x.