已知f(x)=x²+2ax -1,x∈[-2,2]求f(x)的值域?
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f(x)=x²+2ax-1=(x+a)²-(a²+1),对称轴x=-a
f(-2)=-4a+3,f(-a)=-(a²+1),f(2)=4a+3
-a<-2 即a>2时
值域C=[f(-2),f(2)]=[-4a+3,4a+3]
-1≤-a<0 即0<a≤2时
值域C=[f(-a),f(2)]=[-(a²+1),4a+3]
0≤-a≤2 即-2≤a≤0时
值域C=[f(-a),f(-2)]=[-(a²+1),-4a+3]
-a>2 即a<-2时
值域C=[f(2),f(-2)]=[4a+3,-4a+3]
所以 f(x)的值域
C={[4a+3,-4a+3],a<-2
---{[-(a²+1),-4a+3],-2≤a≤0
---{[-(a²+1),4a+3],0<a≤2
---{[-4a+3,4a+3],a>2
f(-2)=-4a+3,f(-a)=-(a²+1),f(2)=4a+3
-a<-2 即a>2时
值域C=[f(-2),f(2)]=[-4a+3,4a+3]
-1≤-a<0 即0<a≤2时
值域C=[f(-a),f(2)]=[-(a²+1),4a+3]
0≤-a≤2 即-2≤a≤0时
值域C=[f(-a),f(-2)]=[-(a²+1),-4a+3]
-a>2 即a<-2时
值域C=[f(2),f(-2)]=[4a+3,-4a+3]
所以 f(x)的值域
C={[4a+3,-4a+3],a<-2
---{[-(a²+1),-4a+3],-2≤a≤0
---{[-(a²+1),4a+3],0<a≤2
---{[-4a+3,4a+3],a>2
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已知f(x)=x²+2ax-1,x∈[-2,2]求f(x)的值域?
解:f(x)=(x+a)²-a²-1; 对称轴x=-a;开口朝上,顶点坐标(-a,-a²-1);
当对称轴x=-a≦-2,即a≧2时, minf(x)=f(-2)=4-4a-1=3-4a; maxf(x)=f(2)=3+4a;
当-2≦-a≦0,即0≦a<2时,minf(x)=f(-a)=-a²-1;maxf(x)=f(2)=3+4a;
当0≦-a≦2,即-2≦a≦0时,minf(x)=f(-a)=-a²-1;maxf(x)=f(-2)=3-4a;
当-a≧2,即a≦-2时,minf(x)=f(2)=3+4a;maxf(x)=f(-2)=3-4a;
解:f(x)=(x+a)²-a²-1; 对称轴x=-a;开口朝上,顶点坐标(-a,-a²-1);
当对称轴x=-a≦-2,即a≧2时, minf(x)=f(-2)=4-4a-1=3-4a; maxf(x)=f(2)=3+4a;
当-2≦-a≦0,即0≦a<2时,minf(x)=f(-a)=-a²-1;maxf(x)=f(2)=3+4a;
当0≦-a≦2,即-2≦a≦0时,minf(x)=f(-a)=-a²-1;maxf(x)=f(-2)=3-4a;
当-a≧2,即a≦-2时,minf(x)=f(2)=3+4a;maxf(x)=f(-2)=3-4a;
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f(x)
=x^2+2ax -1
=(x+a)^2 -(1+a^2)
case 1: -a<-2 ie a>2
min f(x) = f(-2) = 4-4a-1 = 3-4a
max f(x) = f(2) = 4+4a-1 = 3+4a
case 2: -2≤-a< 0 ie 0<a≤2
min f(x) = f(-a) = -(1+a^2)
f(-2) = 3-4a
f(2) = 3+4a
max f(x)= f(2) = 3+4a
case 3: 0≤-a< 2 ie -2<a≤0
min f(x) = f(-a) = -(1+a^2)
max f(-2) = 3-4a
case 4 : -a>2 ie a<-2
min f(x) = f(2) = 3+4a
max f(x) = f(-2) = 3-4a
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