Question

已知f(x)=x²＋2ax －1,x∈[-2,2]求f(x)的值域？

Answer 1

过程如下

Answer 2

f(x)=x²＋2ax-1=(x+a)²-(a²+1),对称轴x=-a
f(-2)=-4a+3,f(-a)=-(a²+1),f(2)=4a+3
-a<-2 即a>2时
值域C=[f(-2),f(2)]=[-4a+3,4a+3]
-1≤-a<0 即0<a≤2时
值域C=[f(-a),f(2)]=[-(a²+1),4a+3]
0≤-a≤2 即-2≤a≤0时
值域C=[f(-a),f(-2)]=[-(a²+1),-4a+3]
-a>2 即a<-2时
值域C=[f(2),f(-2)]=[4a+3,-4a+3]
所以 f(x)的值域
C={[4a+3,-4a+3],a<-2
---{[-(a²+1),-4a+3],-2≤a≤0
---{[-(a²+1),4a+3],0<a≤2
---{[-4a+3,4a+3],a>2

Answer 3

已知f(x)=x²＋2ax-1,x∈[-2,2]求f(x)的值域？
解：f(x)=(x+a)²-a²-1; 对称轴x=-a；开口朝上，顶点坐标(-a，-a²-1);
当对称轴x=-a≦-2，即a≧2时, minf(x)=f(-2)=4-4a-1=3-4a; maxf(x)=f(2)=3+4a；
当-2≦-a≦0，即0≦a<2时，minf(x)=f(-a)=-a²-1;maxf(x)=f(2)=3+4a;
当0≦-a≦2，即-2≦a≦0时，minf(x)=f(-a)=-a²-1；maxf(x)=f(-2)=3-4a;
当-a≧2，即a≦-2时,minf(x)=f(2)=3+4a；maxf(x)=f(-2)=3-4a;

Answer 4

f(x)

=x^2＋2ax －1

=(x+a)^2 -(1+a^2)

case 1: -a<-2  ie  a>2

min f(x) = f(-2) = 4-4a-1 = 3-4a

max f(x) = f(2) = 4+4a-1 = 3+4a

case 2:  -2≤-a< 0  ie   0<a≤2

min f(x) = f(-a) = -(1+a^2)

f(-2) = 3-4a

f(2) =  3+4a

max f(x)= f(2) = 3+4a

case 3:  0≤-a< 2  ie   -2<a≤0

min f(x) = f(-a) = -(1+a^2)

max f(-2) = 3-4a

case 4 : -a>2  ie  a<-2

min f(x) = f(2) = 3+4a

max f(x) = f(-2) = 3-4a