Question

在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝ccosA，c＝2acosB，试判断三角形ABC的形状。

Answer 1

1、由正弦定理及b＝ccosA、c＝2acosB得
sinB＝sinCcosA
sinC＝2sinAcosB
于是
sinC=sin(π-C)
=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB
=2sinAcosB
即
sinAcosB-cosAsinB=0
sin(A-B)=0·········①

sinB=sin(π-B)
=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
=sinCcosA
即
sinAcosC=0·······②
又0＜A、B、C＜π，由②得
C=π/2
且0＜A、B＜π/2，由①得
A-B=0
A=B
综上，△ABC为等腰直角△。

2、通过余弦定理把cosA、cosB用a、b、c表示出来化简即可同样结果。

Answer 2

b=ccosA
b=c*(b^2+c^2-a^2)/2bc
2b^2=b^2+c^2-a^2
a^2+b^2=c^2
△ABC是直角三角形
c=2aCosB
c=2a*(a^2+c^2-b^2)/2ac,
c^2=a^2+c^2-b^2,
a^2=b^2,
a=b.
△ABC形状是等腰三角形.
所以△ABC是一个等腰直角三角形

Answer 3