Question

用极限的分析定义证明

Answer 1

证明：无论予先给定的正数ξ怎么小，由∣√(n+2)-(√n)-0∣=√(n+2)-√n=2/[√(n+2)+√n]
<2/√n<ξ，可得n≧4/ξ²，即存在N=[4/ξ²]，当n≧N时恒有∣√(n+2)-(√n)-0∣<ξ；
∴n→∞lim[√(n+2)-(√n)]=0.

Answer 2

|√(n+2)-√n -0|<ε
|√(n+2)-√n |<ε
|[(n+2)-n]/[√(n+2)+√n] |<ε
2/|√(n+2)+√n |<ε
1/√n<ε
n> 1/ε^2

选 N=[1/ε^2] +1

∀ε>0 , ∃N=[1/ε^2] +1, st
|√(n+2)-√n |<ε , ∀n>N
=> lim(n->∞ )(√(n+2)-√n ) =0

追问

第4，5行那是怎么转化的

追答

|√(n+2)-√n -0|<ε
|√(n+2)-√n |<ε

分子，分母同时乘以√(n+2)+√n

|[(n+2)-n]/[√(n+2)+√n] |<ε

2/|√(n+2)+√n |<ε

"2/|√n+√n |  >  2/|√(n+2)+√n |"

2/|√n+√n |<ε

1/√n<ε

n> 1/ε^2