Question

A,B为可逆矩阵，证A^(2)B也为可逆矩阵

Answer 1

用不着证明的那么麻烦吧
A,B为可逆矩阵
于是二者的行列式都不等于0
所以得到A²B行列式也不等于0
于是A²B也为可逆矩阵
或者说二者都是可逆的，即满秩矩阵
那么A²B还是满秩的方阵
当然A²B也是可逆矩阵

Answer 2

利用r(AB)<= min(r(A),r(B))可以证明
因为n=r(E)<=r(A^(2)B B' A' A') <= r(A^(2)B)
其中A',B'为A,B逆矩阵

Answer 3

n阶矩阵A正定，则存在n个正特征值λi，那么A对角化后，存在正交矩阵P，使得
P^TAP=diag(λ1,λ2,...,λn)
即
A=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P^T
=P（diag(√λ1,√λ2,...,√λn)）^2 P^T
=Pdiag(√λ1,√λ2,...,√λn)（Pdiag(√λ1,√λ2,...,√λn)）^T
令C=Pdiag(√λ1,√λ2,...,√λn)，得到
=C×C^T