Question

已知椭圆x/3+y/2=1的左右焦点分别为F1F2过F1的直线直线交椭圆于BD两点

接上 过F2的直线交椭圆于AC两点 且AC与BD垂直 垂足为P求四边形ABCD的面积的最小值

Answer 1

当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程x23+y22=1，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0．
设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=-6k23k2+2，x1x2=3k2-63k2+2
|BD|=1+k2�6�1|x1-x2|=(1+k2)�6�1[(x1+x2)2-4x1x2]=43(k2+1)3k2+2；
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为-1k，
所以，|AC|=43(1k2+1)3×1k2+2=43(k2+1)2k2+3．
四边形ABCD的面积S=12�6�1|BD||AC|=24(k2+1)2(3k2+2)(2k2+3)≥24(k2+1)2[(3k2+2)+(2k2+3)2]2=9625．
当k2=1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．
综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625．

Answer 2

(2) ∵P在椭圆内，∴原题应该是求四边形ACBD面积S的最小值
设AB与x正方向所成角为θ，则CD与x正方向所成角为θ+π/2
--->AB参数方程：{x=tcosθ-1,y=tsinθ}
CD参数方程：{x=1-tsinθ,y=tcosθ}
AB与椭圆方程联立：2(tcosθ-1)�0�5+3(tsinθ)�0�5=6
--->(3-cos�0�5θ)t�0�5-4tcosθ-4=0
--->t1+t2=4cosθ/(3-cos�0�5θ)，t1t2=-4/(3-cos�0�5θ)
--->(t1-t2)�0�5=(t1+t2)�0�5-4t1t2=48/(3-cos�0�5θ)�0�5
--->|AB|=|t1-t2|=4√3/(3-cos�0�5θ)=8√3/(5-cos2θ)
同理：|CD|=4√3/(3-sin�0�5θ)=8√3/(5+cos2θ)
--->S=(1/2)|AB||CD|=96/(25-cos�0�52θ)≥96/(25-1)=4
--->θ=0或π/2即AB或CD垂直于x轴时，ABCD面积最小为4