Question

一道高数判断题求解答

Answer 1

这是对的，而且是互为充分必要条件，是可以证明的。 证明：（1）若函数f（x）当xx0时极限存在，设
x
x
0
l
i
m

f
（
x
）
=
a
xx0limf（x）=a；
∴xx0即：x从左边趋向x0，和从右边趋向x0时，f（x）趋向a；
根据左极限、右极限的定义得：
x
x
0
−
l
i
m

f
（
x
）
=
x
x
0
+
l
i
m

f
（
x
）
=
a
xx0−limf（x）=xx0+limf（x）=a，即f（x）的左右极限都存在并且相等；
∴函数f（x）当xx0时极限存在的必要条件是左右极限都存在并且相等；
（2）若f（x）的左极限、右极限各自存在并相等，设
x
x
0
−
l
i
m

f
（
x
）
=
x
x
0
+
l
i
m

f
（
x
）
=
a
xx0−limf（x）=xx0+limf（x）=a；
∴x从左边趋向x0和x从右边趋向x0，即x趋向x0时，f（x）趋向a；
∴
x
x
0
l
i
m

f
（
x
）
=
a
xx0limf（x）=a，即函数f（x）当xx0时极限存在；
∴函数f（x）当xx0时极限存在的充分条件是左右极限存在且相等；
综上可得函数f（x）当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并相等．

Answer 2

对的，左右极限相等，这个结论成立。

Answer 3

对，左极限等于右极限，函数在该点x0极限值等于左右极限。

Answer 4

是的。函数f(x)在x0点极限存在当且仅当f(x)在x0点处的左极限等于右极限。这道判断题只是把定义重复了一遍。

Answer 5

对。
极限存在定理：左右极限存在且相等时，极限存在且等于左右极限。