Question

在三角形ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC上一点,BE与AD交与F,若AE=EF,求证BF=AC

在这里我知道要延长AD，但是不知道可不可以过C点作CG交AD于G，使CG=DC，不知道这样可不可以。。求教！

Answer 1

郭敦顒回答：

∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，又∠EFA=∠BFD（对顶角），

作BK∥AC交AD的延长线于K，∴∠EAF=∠BFK，

∴∠BKA=∠EAF，∠KBD=∠ACD，（平行则内错角相等），

又∠BKA=∠BKF（同角），∴∠BKF=∠EAF，

∴∠BFK=∠BKF，∴BK=BF，

又∵∠BDK=∠ADC（对顶角），BD=CD，

∴△KBD≌△ACD，

∴BK=AC，

∴BF=AC。

                              

                               A

 

 

 

                                   E

                        F

 

 

                                        C 

     B                 D

 

 

 

 

 

 

                K

 

追问

我不是问，我知道这个方法，看题目 我说的是另一种方法。。OK？

追答

郭敦顒继续回答：
你说的是G在AD上，形成等腰△CDG，CG=CD，但如此，却找不到与BF=AC相联系的相等线段，而与解题无关，故此法不可行。

追问

有，可以解

追答

郭敦顒继续回答：

还确实有此法。看来你已解出了。这对我来说也是一次学习提高的机会，谢谢了。

G在AD上，形成等腰△CDG，CG=CD，

∴CG=BD，∠GDC=∠CGD，∠BDF=∠CGA（等角的补角相等），

又∠EAF=∠BFD，∴∠DBF=∠GCA（对应△两角相等，则第三角相等），

∴△BDF≌△CGA，

∴BF=AC。

Answer 2

解：延长AD至G，使DG=DF，连接CG。
∵DG=DF ∠CDG=∠BDF CD=BD
∴⊿CDG≌⊿BDF
∴CG=BF ∠G=∠DFB
∵AE=EF
∴∠EAF=∠EFA
∵∠EFA=∠DFB
∴∠EAF=∠G
∴CG=AC
∴BF=AC