Question

设三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a<b<c),在x=1处取得极值，其图象在x=m处的切线斜率为-3a .

(1)求证：0<=b/a<1；
(2)若函数y=f(x)在区间[s,t]上单调递增，|s-t|的取值范围；
(3)问是否存在实数k（k是与a,b,c,d无关的常数），当x>=k时，恒有f '(x)+3a<0成立？若存在，试求出k的最小值；若不存在，请说明理

Answer 1

f'(x)=3ax�0�5+2bx+cf(1)=3a+2b+c=0, c=-3a-2b当c≤0时，a<b<c ∴ a b 同为负数 c≤0此时不满足 3a+2b+c=0,所以c>0,当a≥0时， b c 同位正数，a≥0不满足3a+2b+c=0，所以a<0,f'(m)=3am�0�5+2bm+c=3am�0�5+2bm -3a-2b =-3a所以 3am�0�5+2bm-2b=0△=4b�0�5+24ab≥0 (除以4a�0�5，4a�0�5>0) 得到 (b/a)�0�5+6b/a≥0 b/a *（b/a +6）≥0 所以 b/a ≥0 或者 b/a≤ - 6又∵ c = -3a-2b >0 （除以a，a<0） -3 - 2b/a <0 所以 b/a> -2/3又 b/a ≥0 或者 b/a≤ - 6所以b/a≥0 又a<b (两边同时除以a，a<0) ∴1>b/a所以 1>b/a≥0..(2) 令 f'(x)=3ax�0�5+2bx+c =0设解为x�6�9x�6�0 （ 方程的两个根不同号，x�6�9*x�6�0=c/(3a)<0 ）f'(1)=0 ∴1为方程的根，即x�6�9=1 >0,∴ x�6�0<0x�6�9+ x�6�0= -2b/(3a) ∴x�6�0=-2b/(3a) -1a<0 所以函数f‘(x)在 [x�6�0，x�6�9] 大于等于0此时还是f(x)单调递增又函数y=f(x)在区间[s,t]上单调递增所以 |s-t| ≤x�6�9- x�6�0 = 2 - 2b/(3a) =2 - 2/3 * b/a （1>b/a≥0） 所以 |s-t| ≤ 2 - 2/3 * b/a ≤ 2.∴ 0< |s-t| ≤ 2.(3).. f '(x)+3a= 3ax�0�5+2bx+c+3a=3am�0�5+2bm-2b (前面 c=-3a-2b.) 抛物线开口方向向下 令f '(x)+3a= 3ax�0�5+2bx-2b=0 设 x�6�1x�6�2（x�6�1<x�6�2）所以x>x�6�2时 f '(x)+3a=3ax�0�5+2bx-2b<0 恒成立.所以存在k 使得 当x>=k时，恒有f '(x)+3a<0成立.k的最小值为x�6�2 即为 方程3ax�0�5+2bx-2b=0 较大的根.由1得 m是方程的根 ( f'(m)=-3a ,f'(m)+3a=0)当m> - 1/3 * b/a (对称轴)时 ，m为较大的根，所以此时 k=m.当m< - 1/3 * b/a 时x�6�2= - 2/3 * b/a - m ≤ - m所以此时 k= - m.