Question

高中数学，求大神指点

Answer 1

这题选D，主要运用向量投影公式
（以下线段均表示向量，|x|表示向量x的长度）
不妨设|AB|=|AC|=1，根据题目可知AB·AC=0 , AC·AC=AB·AB=1
AD=AB+BD=AB+1/3(AC-AB)=2/3AB+1/3AC
AE=AC+CE=AC+1/3(AB-AC)=1/3AB+2/3AC
AF为AE在AD上的投影向量，故
|AF|=AD·AE/|AD|
=(2/3AB+1/3AC)(1/3AB+2/3AC)/|2/3AB+1/3AC|
=(2/9+2/9)/√(4/9+1/9)
=4/(3√5)
所以
AF=AD×|AF|/|AD|=(2/3AB+1/3AC)×(4/(3√5))/√(4/9+1/9)
=(2/3AB+1/3AC)×4/5
=8/15AB+4/15AC

作为选择题可以通过排除法进行选择
首先计算出AD=2/3AB+1/3AC，因为AF与AD共线，所以AB和AC前的系数比一定2:1，排除A，C
根据图示，过F作AB的垂线（也就是AC的平行线），交点大致落在AB中点处，肯定不可能是2/5，排除B，选择D。
并且选项D中AB前系数8/15确实在1/2左右，是可信的。