Question

高中数学证明几何题求解

Answer 1

（1）、

因为在等腰梯形ABCD中易知有AO=BO，CO=DO，△ABO∽△CDO，

所以AO/CO=BO/DO=AB/CD，

因为AB=2CD，所以AO/CO=BO/DO=AB/CD=2，

又因为AC=AO+CO=2CO+CO=3CO=3，所以CO=DO=1，AO=BO=2，

因为在△ABO中AO=BO=2，AB=2√2，满足AO²+BO²=AB²，

所以△ABO为∠AOB=90°的直角三角形，即AC⊥BD，

又因为PB⊥AC，BD、PB均在平面PBD上且BD∩PB=B，

所以AC⊥平面PBD。

（2）、如图所示，连接PO，过点E作EF∥PO交AC于点F。

由题（1）结论“AC⊥平面PBD”且PO在平面PBD上可知PO⊥AC，

在直角△PAO中PA=2√2，AO=2可根据勾股定理算得PO=2，

在△PBO中PO=BO=2，PB=2√2，满足PO²+BO²=PB²，

所以△PBO是∠POB=90°的直角三角形，即PO⊥BD，

又因为PO⊥AC，AC、BD均在平面ABCD上且AC∩BD=O，

所以PO⊥平面ABCD，因为EF∥PO，

所以EF⊥平面ABCD，即EF为三棱锥E-OBC的高，

因为OE∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD=PA且EO在平面PAC上，

所以EO∥PA，在△PAC中可知△PAC∽△EOC，有PC/EC=AC/OC=3，

因为EF∥PO，在△POC中可知△POC∽△EFC，有PO/EF=PC/EC=3，

PO=2，则EF=PO/3=2/3，

所以三棱锥E-OBC的体积为△OBC面积×EF×1/3

=(BO×CO÷2)×EF×1/3=(2×1÷2)×2/3×1/3=2/9。