Question

试证函数[f(x)=xsin(1/x),x不等0] , [f(x)=(0)] ,在x=0处连续？

试证函数f(x)={ xsin(1/x),x不等0 ,
= {f(x)=(0) , 在x=0处连续

Answer 1

证明思路：证明函数在x＝0处左右极限等于函数值即可。
1、x趋近0+时，由-1≤sin（1/x）≤1可知sin（1/x）有界，所以f（x）＝Xsin（1/x）＝0(无穷小乘以有界函数等于无穷小)
2、同理可证x趋近0-时，f（x）＝Xsin（1/x）＝0
3、根据上面可知f（0+）＝f（0-）＝f（0），所以f（x）＝Xsin（1/x）在x＝0处连续。

Answer 2

当x->0时，|sin(1/x)|<=1,所以lim |f(x) | <= lim |x| =0，所以连续