Question

已知二次函数y ax2+bx+c(a≠0)的图象过点E(2,3),对称轴为x=1，它的图象与x轴交于两点A（x1,0），B（x2,0)

且x1小于x2，x1²+x2²=10

Answer 1

解由y= ax2+bx+c(a≠0)的图象过点E(2,3),
即a*2^2+2b+c=3
即4a+2b+c=3....................(1)
又有称轴为x=1即x=-b/2a=1
即b=-2a...........................(2)
把（2）代入（1）得
4a-4a+c=3
即c=3
即y= ax2+bx+c
=ax2-2ax+3
又有它的图象与x轴交于两点A（x1,0），B（x2,0)
即x1+x2=2
x1x2=3/a
由x1²+x2²=10
得（x1+x2）²-2x1x2=10
即2²-2*3/a=10
即6/a=-6
即a=-1
即y= ax2+bx+c
=ax2-2ax+3
=-x²+2x+3

Answer 2

因图象过点E
则3=4a+2b+c（I）
因对称轴x=1
则-b/2a=1（II）
由（II）得2a+b=0
由（I）得c=3-2(2a+b)=3

令ax2+bx+c=0
依题知上述方程有两不等实根
由韦达定理有x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
注意到-b/a=2，c=3
则x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4-6/a=10
由此知a=-1
此时b=2

综上知二次函数解析式为y=-x^2+2x+3