Question

已知,如图,在角AOB外有一点P,试作点P关于直线OA的对称点P1,再作点P1关于直线OB的对称点P2.

（1）试探索∠POP2与∠AOB的大小关系；（P在角外部）
（2）若点P在∠AOB外部，或在∠AOB的一边上，上述结论还成立吗？

Answer 1

1）因为P与P1对称

所以∠1=∠2

因为P1与P2对称

所以∠3=∠4

∠AOB=∠2+∠3

∠POP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）=2∠AOB

2）在边上，则没有P1，即没有∠1与∠2。直接P2

 有∠3=∠4

∠AOB=∠3

∠POP2=∠3+∠4=2∠AOB

3）在内部

因为P在内，P1在外。

则∠POP2=（∠AOB-∠2）+（∠AOB+∠1）=2∠AOB

Answer 2

⑴∠POP2=2∠AOB。

(连接OP1交、OP2，设PP1交OA于C，P1P2交OB于D，
根据对称全等得：ΔOCP≌ΔOCP，ΔODP1≌ΔODP2，
∴∠POP2=2∠AOB)
依然成立。

Answer 3

作PP1⊥OA，垂足C,且PC=P1C;根据角平分线定理，OA为∠POP1的角平分线，∠POA=∠P1OA;
作P1P2⊥OB，垂足D,且P1D=P2D;根据角平分线定理，OB为∠P1OP2的角平分线，∠P1OB=∠P2OB;
(1)，
∠POP2=∠POA+∠P1OA+∠P1OB+∠P2OB;
=∠P1OA+∠P1OA+∠P1OB+∠P1OB;
=2(∠P1OA+∠P1OB;)
=2∠AOB;
(2),
若点P在∠AOB的内部:
∠P1OA=∠POA,
∠P2OB=∠P1OB;
∠P2OB=∠POB+∠POA+∠P1OA;
∠P2OB+∠POB=∠POB+∠POA+∠P1OA+∠POB;
∠POP2=2(∠POB+∠POA)=2∠AOB;
P在∠AOB的一边比如OA上,
P1与P重合，
∠P2OB=∠P1OB=∠POB=∠AOB;
∠POP2=∠P2OB+∠P1OB=∠AOB+∠AOB=2∠AOB;