Question

求一个数学题目的第二问，求大神用直角坐标系作出来

Answer 1

好的LZ
以B为坐标原点，BC所在直线为y轴，BA所在直线为x轴，作平面直角坐标系B-xy(图你自己画= =！)
设P(x,y)且满足x>0,y>0,√3x +3y-3<0 [这个范围的取得可参考数学可行域那一章节]
所以所求tanPBA=y/x
那么
向量PC=(-x,1-y)
向量PB=(-x,-y)
根据题意
向量PC●向量PB=0
x² + y² -y=0---(1)
tanPBA=y/x
tanPAB=y/(√3 -x)
tanAPB=tan150=tan[180-(PBA+PAB)]
=-tan(PBA+PAB)
=- (tanPBA+tanPAB)/(1-tanPBAtan*PAB)
=-√3y/(√3x -x²-y²)=-1/√3
x²+y²-√3x+3y=0---(2)
(2)-(1),得
-√3 x +4y=0
y/x=√3/4 [注：你这里可以接着把x,y都求出来，验证一下是否在三角形内部]

所以tanPBA=√3/4

Answer 2

（2）设∠ABP=∠BCP=u,AP=x,tanu=y,易知∠APC=120°，
PB=sinu,PC=cosu,AC=2,
由余弦定理，AB^2=(sinu)^2+x^2-2xsinucos150°=3，①
AC^2=(cosu)^2+x^2+xcosu=4，②
②-①，(cosu)^2-(sinu)^2+x(cosu-√3sinu)=1,
所以x(cosu-√3sinu)=2(sinu)^2,
x=2(sinu)^2/(cosu-√3sinu),
代入②，(cosu)^2+4(sinu)^4/(cosu-√3sinu)^2+2cosu(sinu)^2/(cosu-√3sinu)=4,
两边都除以(cosu)^2,得1+4y^4/(1-√3y)^2+2y^2/(1-√3y)=4(1+y^2),
两边都乘以(1-√3y)^2,得1-2√3y+3y^2+4y^4+2y^2(1-√3y)=4(1+y^2)(1-2√3y+3y^2),
整理得3-6√3y+9y^2
.........................+4y^2-8√3y^3+12y^4
...........................-2y^2+2√3y^3-4y^4=0,
所以3-6√3y+11y^2-6√3y^3+8y^4=0,0<y<1/√3=tan30°，
解得y1=√3/4，y2=√3/2（舍），或y^2=-1(无实根).
所以tan∠PBA=y=√3/4.
解2 以BC,BA为x,y轴，建立直角坐标系，则A(0,√3),C(1,0).设P(x,y),则
向量PA=(-x,√3-y),PB=(-x,-y),PC=(1-x,-y),
易知PB*PC=-x+x^2+y^2=0,即x^2+y^2=x.①
由∠APB=150°得x^2+y^2-√3y=√[x^2+(√3-y)^2*√(x^2+y^2)*(-√3/2),
两边平方，都乘以4，得4(x^2+y^2-√3y)^2=3(x^2+y^2)(x^2+y^2-2√3y+3),
整理得(x^2+y^2)^2-2√3y(x^2+y^2)+3y^2=9x^2,
配方得(x^2+y^2-√3y)^2=9x^2,
开方得x^2+y^2-√3y=土3x,②
把①代入②，x-√3y=土3x,x>0,y>0,
所以4x=√3y(舍弃2x=-√3y),
所以tan∠PBA=x/y=√3/4.