Question

有关高中不等式的例题

我现在是高一。
对于高一中的不等式，有一点不明白。
我现在急需大量例题。
当然是要答案的。
谢谢。

Answer 1

例4 解答题

(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．
分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数，即指正数或零中的整数，所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．
解：

∴ 120-8x≥84-3(4x+1)

(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因为不大于4的非负整数有0，1，2，3，4五个，所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4，3，2，1，0．
例5 解关于x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)
分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的，只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论，这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论，而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．
解：(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此时要依x字母系数的不同取值，分别求出不等式的解的形式．

即(n-m)x＞n2-m2
当m＞n时，n-m＜0，∴x＜n+m；
当m＜n时，n-m＞0，∴x＞n+m；
当m=n时，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时，不等式两边的值都为零，只能是相等的，所以不等式不成立．
例6 解关于x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3．
分析：由于x是未知数，所以把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，分别处理．
解：去括号，得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移项，得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合并同类项，得
(a+3)x≥3-3a

(3)当a+3=0，即a=-3，得0·x≥12
这个不等式无解．
说明：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其它字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论．
例7 m为何值时，关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．
分析：根据题意，应先把m当作已知数解方程，然后根据解的条件列出关于m的不等式，再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．
解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m

已知方程的解是非正数，所以

例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数，(2)负数，试确定k的取值范围．
分析：要确定k的范围，应将k作为已知数看待，按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式，求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式，而是依已知条件获得不等式，属于不等式的应用．
解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非负数，所以

(2)已知方程的解是负数，所以

例9 当x在什么范围内取值时，代数式-3x+5的值：
(1)是负数 (2)大于-4
(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9
分析：解题的关键是把“是负数”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．
解：(1)根据题意，应求不等式
-3x+5＜0的解集
解这个不等式，得

(2)根据题意，应求不等式
-3x+5＞-4的解集
解这个不等式，得
x＜3
所以当x取小于3的值时，-3x+5的值大于-4．
(3)根据题意，应求不等式
-3x+5＜-2x+3的解集
-3x+2x＜3-5
-x＜-2
x＞2
所以当x取大于2的值时，-3x+5的值小于-2x+3．
(4)根据题意，应求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以当x取大于或等于2的值时，-3x+5的值不大于4x-9．
例10

分析：

解不等式，求出x的范围．
解：

说明：应用不等式知识解决数学问题时，要弄清题意，分析问题中数量之间的关系，正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”，“至少小2”，表示不仅少2，而且还可以少得比2更多．
例11 三个连续正整数的和不大于17，求这三个数．
分析：

解：设三个连续正整数为n-1，n，n+1
根据题意，列不等式，得
n-1+n+n+1≤17

所以有四组：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x＜3的正整数解是1、2，它的非负整数解是0、1、2．
例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内，现要求热水温度不超过40℃，如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃，问通电最多多少分钟，水温才适宜？
分析：设通电最多x分钟，水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃，这时水温是(18.4+0.9x)℃，根据题意，应列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．
答案：通电最多24分，水温才适宜．
说明：解答此类问题时，对那些不确定的条件一定要充分考虑，并“翻译”成数学式子，以免得出失去实际意义或不全面的结论．
例13 矿山爆破时，为了确保安全，点燃引火线后，人要在爆破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人离开速度是5米/秒，问引火线至少需要多少厘米？
解：设引火线长为x厘米，

根据题意，列不等式，得

解之得，x≥48(厘米)
答：引火线至少需要48厘米．
*例14 解不等式|2x+1|＜4．
解：把2x+1看成一个整体y，由于当-4＜y＜4时，有|y|＜4，即-4＜2x+1＜4，

巧解一元一次不等式
怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式？现结合实例介绍一些技巧，供参考．
1．巧用乘法
例1 解不等式0.25x＞10.5．
分析 因为0.25×4=1，所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便．
解 两边同乘以4，得x＞42．
2．巧用对消法
例2 解不等式

解 原不等式变为

3．巧用分数加减法法则

故 y＜-1．
4．逆用分数加减法法则

解 原不等式化为
，

5．巧用分数基本性质
例5 解不等式

约去公因数2后，两边的分母相同；②两个常数项移项合并得整数．

例6 解不等式

分析 由分数基本性质，将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算．
解 原不等式为

整理，得8x-3-25x+4＜12-10x，

思考：例5可这样解吗？请不妨试一试．
6．巧去括号
去括号一般是内到外，即按小、中、大括号的顺序进行，但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径．

7．逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．
分析 直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题．
解 原不等式化为
(x-3)(278-351×2+463)＞0，
即 39(x-3)＞0，故x＞3．
8．巧用整体合并
例9 解不等式
3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．
解 视2x-1为一整体，去大、中括号，得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5，整体合并，得-6(2x-1)＞14，

9．巧拆项
例10 解不等式

分析 将-3拆为三个负1，再分别与另三项结合可巧解本题．
解 原不等式变形为

得x-1≥0，故x≥1．
练习题
解下列一元一次不等式

③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．
答案
回答者：匿名 7-31 09:24

Answer 2

代数不等式的解法�6�1例题

例5-3-1 解不等式16x+x4-x5＜16。
解 原不等式可同解变形为
x5-x4-16x+16＞0。
左边分解因式，得同解不等式

(x-1)(x2+4)(x-2)(x+2)＞0
用数轴标根法，得不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞2}。
注 解实系数一元高次不等式，可先把最高次项的系数化为正数，并使右边为0，再通过因式分解，将左边变形，最后用数轴标根法求解集。

例5-3-2 (1)已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为(-∞，α)∪(β，+∞)。求ax2+bx+c＞的解集，并说明b的取值范围a，c的关系；
(2)若a＜0，解不等式(a-1)x2+b(2-a)x-b2＞0。
解 (1)由题设知，a＜0。所以，

(x-α)(x-β)＜0
由此可知，当α≠β时，不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}；当α=β时，不等式无解。
又由题设a＜0，且b2-4ac≥0，即b2≥4ac。因此，当c≥0时，有4ac≤0，这时b可取任意实数；当c＜0时，则4ac＞0，这时

(2)由于a＜0，从而a-1＜0，故所给不等式同解于

若b=0，此不等式即为x2＜0。这时无解；

解集为

注 解一元二次不等式时，应充分利用二次函数的图象，通过形数结合，提高解题的速度。

解 [法一] 移项、化简，原不等式同解于

(x+1)x(x-1)(x-3)＜0
由下图可知，原不等式的解集是

{x|-1＜x＜0或1＜x＜3}
[法二] 原不等式同解于不等式组

故(Ⅰ)的解集为{x|1＜x＜3}；(Ⅱ)的解集为x|-1＜x＜0。从而所求解集为
{x|1＜x＜3}∪{x|-1＜x＜0}={x|1＜x＜3或-1＜x＜0}
注 将不等式同解变形为不等式组时，要注意区分解集的“交”、“并”关系。
例5-3-4 解下列不等式：

解 (1)原不等式同解于不等式组

解不等式组(Ⅰ)，得0＜x＜1，(Ⅱ)无解。故原不等式的解集是
{x|0＜x＜1}
(2)令t=x2-x，则原不等式化为

此不等式的允许值集确定于不等式组

另一方面，不等式(i)可化为

注 解含根式的不等式，关键在于去掉根号，使之化为有理不等式。去掉二次根号的常用方法是平方法，有时也采用变量代换的方法或配成完全平方的方法。无论采用哪种方法，都要注意转化的同解性。
例5-3-5 解下列不等式：

解 (1)原不等式可化为

(2)原不等式的允许值集为{x|x≥3}。原不等式可化为

两边立方，得

化简并整理后即为

解前一不等式组得x＞4；后一不等式组无解。故原不等式的解集为{x|x＞4}。
例5-3-6 解关于x的不等式：

当a＜0时，由(i)得t＞1-a＞0，即

当a=0时，(i)无解；

于是，

当a≥1时，(i)无解。
综上所述，当a＜0时，原不等式的解集为

当a=0或a≥1时，原不等式无解。
注 本例既涉及变量代换，又涉及参数的讨论，综合性较强，但并不需要高超的技巧，按常规方法即可解决。关键是变量代换，难点是严

间，要认真领会。

Answer 3

www.hengqian.com 有很多测试题、真题、模拟题，自己去找吧 http://www.cnmaths.com/xinkb/UploadFiles/200612/20061206170451175.rar 我用了十分钟查的一个网址你注册一下在用迅类下载就可以用了 结果就和以下 普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版] §3.4.1第1 0课时 基本不等式的证明（1） 教学目标 （1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式； （2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。 教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。 教学过程 一．问题情境 1．情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么 并非物体的重量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为 。 2．问题：如何合理地表示物体的质量呢？ 二．学生活动 引导学生作如下思考： （1）把两次称得的物体的质量“平均”一下： （2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为 ，物体的质量为 ，则 ，① ，②，①，②相乘在除以 ，得 （3） 与 哪个大？ 三．建构数学 1．算术平均数与几何平均数：设 为正数，则 称为 的算术平均数， 称为 的几何平均数。 2．用具体数据验证得： 基本不等式： 即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。 下面给出证明： 证法1： 当且仅当 即 时，取“ ”。 证法2： 要证 ，只要证 只要证 ，只要证 因为最后一个不等式成立，所以 成立，当且仅当 即 时，取“ ”。 证法3：对于正数 有 ， 3．说明：（1）基本不等式成立的条件是： （2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3） （3） 的几何解释：（如图1）以 为直径作圆，在直径 上取一点 ， 过 作弦 ，则 ， 从而 ，而半径 （4）当且仅当 时，取“ ”的含义：一方面是当 时取等号，即 ；另一方面是仅当 时取等号，即 。 （5）如果 ，那么 （当且仅当 时取“ ”）． 四．数学运用 1．例题： 例1．设 为正数，证明下列不等式成立： （1） ； （2） 证明：（1）∵ 为正数，∴ 也为正数，由基本不等式得 ∴原不等式成立。 （2）∵ 均为正数，由基本不等式得 ，∴原不等式成立。 例2．已知 为两两不相等的实数，求证： 证明：∵ 为两两不相等的实数， ∴ ， ， ， 以上三式相加： 所以， ． 例3．已知 都是正数，求证 ． 证明：由 都是正数，得： ， ， ∴ ， 即 ． 例4．求证： ． 证明：∵ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 2．练习： 1.给出下列结论： （1）若 则 （2）若 则 （3）若 ，则 （4）若 ，则 其中正确的有 2．课本 五．回顾小结： 1．算术平均数与几何平均数的概念； 2．基本不等式及其应用条件； 3．不等式证明的三种常用方法。 六．课外作业： 3 1，2，3，5 补充： 1． 已知 都是正数，求证： ； 2．已知 都是正数，求证： ． 普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版] §3.4.1第11课时 基本不等式的证明（2） 教学目标 （1）进一步掌握基本不等式； （2）会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 教学重点，难点 基本不等式的灵活运用。 教学过程 一．问题情境 1．情境： （1）复习：基本不等式； （2）练习：已知 ，求证： 2．基本不等式除了常用于证明不等式外，还经常用于求某些函数的最大值或最小值。 二．建构数学 已知 都是正数， ①如果积 是定值 ，那么当 时，和 有最小值 ； ②如果和 是定值 ，那么当 时，积 有最大值 ． 证明：∵ ， ∴ ， ①当 (定值)时， ∴ ， ∵上式当 时取“ ”， ∴当 时有 ； ②当 (定值)时， ∴ ， ∵上式当 时取“ ” ∴当 时有 ． 说明：①最值的含义（“ ”取最小值，“ ”取最大值）； ②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。 三．数学运用 1．例题： 例1．（1）求 的最值，并求取最值时的 的值。 解：∵ ∴ 于是 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， ∴ 的最小值是 ，此时 ． （2）若上题改成 ，结果将如何？ 解：∵ ，于是 ， 从而 ，∴ 的最大值是 ，此时 ． 例2．求 的最大值，并求取时的 的值。 解：∵ ，∴ ，∴ 则 ，当且仅当 ，即 时取等号。 ∴当 时， 取得最大值4。 例3．若 ，则 为何值时 有最小值，最小值为多少？ 解：∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ = ，当且仅当 即 时 例4．若 ，求 的最小值。 解：∵ ，∴ 当且仅当 ，即 时取等号， ∴当 时， 取最小值 2．练习：（1）若 ，求 的最值； （2）下列函数中，最小值是 的是 （ ） ， 四．回顾小结： 1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解； 2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式； （2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。 五．课外作业：课本 4 ， 习题3 .4 4 补充：1．已知 ，求 的最大值，并求相应的 值。 2．已知 ，求 的最大值，并求相应的 值。 3．已知 ，求函数 的最大值，并求相应的 值。 4．已知 求 的最小值，并求相应的 值。 就告诉你这么多了自己还可以去其他地方找找