Question

设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2，若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围

Answer 1

f(x)=x(e^x-1)-ax2
所以 f’(x)= e^x(x 1)-2ax-1
而f(0)=0 要使 f(x)>=在x>=0上恒成立
则 f’(x)>=0要恒成立
即 e^x(x 1)-2ax-1>=0
（这里我认为不能将a分离出来：a<= (e^x(x 1)-1）/(2x)，设t(x)= (e^x(x 1)-1）/(2x)，则t’(x)= e^x*x^2 e^x*x- e^x-1，令t’(x)=0，得x=0，而t(x)中x不能为0)
令g(x)= e^x(x 1)-2ax-1，即g(x)>=0
而g(0)=0，所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)= e^x*x e^x-2a>=0
（这时候可以分离a了）
所以a<= e^x(x 1)/2
令p(x)= e^x(x 1)/2
则p’(x)=(e^x*x e^x)/2，令p'(x)=0
得x=-1，可知x=-1为p(x)极小值点
而x>=0，则p(x)最小值为p(0)=1/2
所以a<=1/2

哥们也不知道对不对。这题计算量比较大，要二次求导。我省了一些步骤。有问题可以交流。

Answer 2

f(x)=x(e^x-1)-ax2
∴f’(x)= e^x(x 1)-2ax-1
又f(0)=0 要使
f(x)>=在x>=0上恒成立
∴ f’(x)>=0要恒成立
∴ e^x(x
1)-2ax-1>=0
（这里我认为不能将a分离出来：a<= (e^x(x 1)-1）/(2x)，设t(x)= (e^x(x
1)-1）/(2x)，∴t’(x)= e^x*x^2 e^x*x- e^x-1，令t’(x)=0，得x=0，而t(x)中x不能为0)
令g(x)=
e^x(x 1)-2ax-1，即g(x)>=0
而g(0)=0，所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)= e^x*x
e^x-2a>=0
（这时候可以分离a了）
∴a<= e^x(x 1)/2
令p(x)= e^x(x
1)/2
则p’(x)=(e^x*x
e^x)/2，令p'(x)=0
得x=-1，可知x=-1为p(x)极小值点
而x>=0，则p(x)最小值为p(0)=1/2
所以a<=1/2