齐次线性方程组和非齐次线性方程组怎么判断有唯一解,无解,无穷多解,其系数行列式与解的关系。谢谢

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2021-08-17 · 分享生活酸甜苦辣咸,喜怒哀乐。
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无穷解的条件分别是Ax=0无非零解时,则A为满秩矩阵。

则Ax=b一定有解。

Ax=0有无穷多解时,则A一定不为满秩矩阵。

Ax=b的解得情况有无解和无穷多解。

无解:R(A)≠R(A|b)。

无穷解:R(A)等于R(A|b)。且不为满秩。

Ax=b无解时,可知Ax=0一定有无穷多解。

Ax=b 有唯一解时,可知A为满秩矩阵,则Ax=0只有零解。

齐次线性方程组,要么零解(R(A)=n),要么无穷解(R(A)<n)。

重要定理

1、每一个线性空间都有一个基。

2、对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A,如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E(E是单位矩阵),则 A 为非奇异矩阵(或称可逆矩阵),B为A的逆阵。

3、矩阵非奇异(可逆)当且仅当它的行列式不为零。

4、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

5、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

6、矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

7、解线性方程组的克拉默法则

8、判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

迮又柔诸思
2020-04-19 · TA获得超过2.9万个赞
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r(A)=n时,齐次线性方程组只有零解,r(A)<n时,有无穷解。
r(A|b)不等于r(A)时,非齐次线性无解,r(A|b)=r(A)<n时,无穷解,等于n时,唯一解。
补充:当A为n阶方阵且可逆时,非齐次线性方程组的唯一解可由克拉默法则解得:x(j)=|Aj|/|A|,|Aj|为用b代替|A|中第j列所得到的行列式。
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:
(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。
(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。
(3)设R(A)=R(B)=r;把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示。

扩展资料:
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。(rank(A)表示A的秩)
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解(η=ζ+η*)
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即矩阵的秩)小于等于m(矩阵的行数),若m<n,则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元,这个n-r个自由变元可取任意取值,从而原方程组有非零解(无穷多个解)。
参考资料来源:百度百科——非齐次线性方程组
参考资料来源:百度百科——齐次线性方程组
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俺吖王16
2020-03-18 · TA获得超过3万个赞
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你说的这两个结论都只能在系数矩阵为方阵的条件下成立(否则行列式没定义)。设a是n阶方阵。第一,线性方程组ax=b有唯一解的条件是r(a,b)=r(a)=n,所以|a|≠0。第二,线性方程组ax=0有唯一解的条件是r(a)=n,所以|a|≠0。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!
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