Question

已知函数f（x）=（x2-a+1）ex，g（x）=（x2-2）ex+2．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为l：y

Answer 1

（1）解：a=2时，f（x）=（x2-1）ex，f（1）=0，即切点是（1，0）
f′（x）=2xex+（x2-1）ex=（x2+2x-1）ex，
∴k=f′（1）=2e，即切线斜率k=2e
所以，由点斜式可写出切线方程为：y=2e（x-1），即2ex-y-2e=0
（2）证明：令f′（x）=（x2+2x-a+1）ex=0，
∵x1，x2为f（x）的两个不同极值点
∴x1+x2=-2，x1x2=-a+1
因为|x1+x2|≥|x1x2|-1，所以2≥|-a+1|-1，所以-2≤a≤4．
又由△＞0得a＞0，所以0＜a≤4，
又由f′（x）=（x2+2x-a+1）ex=0，x1＜x2，解得x1=-1-
a
因为0＜a≤4，所以x1=-1-
a
∈[-3，-1）
g（x1）=f（x1）+（x12-2）ex1=（2x12-a-1）ex1，
又因为x1=-1-
a
，所以a=x12+2x1+1，所以g（x1）=（x12-2x1-2）ex1，所以g′（x1）=（x12-4）ex1，
令g′（x1）=（x12-4）ex1=0得x1=-2或2，
在区间[-3，-1）上，g（x1），g′（x1）变化状态如下表：
x1
-3
（-3，-2）
-2
（-2，-1）
g（x1）
+
0
-
g′（x1）
增
极大值
减
所以当x1=-2时，g（x1）取得最大值
6
e2
，所以g（x1）≤
6
e2
．