Question

已知函数f(x)=sin�0�5ωx+√3sinωxsin(ωx+π/2),(ω＞0)的最小正周期为π：

（1）求ω的值；（2）求函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围。

Answer 1

解：f(x)=sin^2ωx+√3sinωxsin(ωx+π/2)
=sin^2ωx+√3sinωxcosωx
=1-cos^2wx+√3/2*sin2wx
=1-(cos2wx+1)/2+√3/2*sin2wx
=1/2+(√3/2*sin2wx-1/2*cos2wx)
=1/2+sin(2wx-π/6)

1)
最小正周期=2π/2w=π
w=1

2)
在区间[0,2π/3]上
2x-π/6=π/2,x=π/3时，f(x)有最大值=1/2+1=3/2
x=0时，f(x)有最小值=1/2-1/2=0
函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围 :[0,3/2]

Answer 2

f(x)=sin�0�5ωx+√3sinωxsin(ωx+π/2)
=sin�0�5ωx+√3sinωxcosωx
=sinωx(sinωx+√3cosωx)
=sinωx*2[sinωxcos(π/3)+sin(π/3)cosωx]
=2sinωxsin(ωx+π/3)
=cos[ωx-(ωx+π/3)]-cos[ωx+(ωx+π/3)]
=-cos(2ωx+π/3)+1/2
因为ω＞0，最小正周期为2π/(2ω)=π，所以ω=1，
f(x)的增区间为[π/3+kπ, 5π/6+kπ]，减区间为[-π/6+kπ, π/3+kπ]
在区间[0,2π/3]，最大值为x=π/3处，f(π/3)=1+1/2=3/2
最小值f(0)=f(2π/3)=-cos(π/3)+1/2=0
函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围为[0,3/2]

Answer 3

f(x)=sin�0�5ωx+√3sinωxsin(ωx+π/2)=f(x)=sin�0�5ωx+√3sinωxcosωx =1/2*(1-cos2ωx)+√3/2*sin2ωx =sin(2ωx-∏/6)+1/2因为f(x)最小正周期为π 所以T=2∏/2ω=∏ ω=1f(x)=sin(2x-∏/6)+1/2x∈[0,2π/3] 2x-∏/6∈[-∏/6，7∏/6] 所以sin(2x-∏/6)∈[-1/2，1]sin(2x-∏/6)+1/2)∈[0，3/2]

Answer 4

f(x)=sin�0�5ωx+√3sinωxsin(ωx+π/2)=(1-cos2wx)/2+√3sinwxcoswx=(1-cos2wx)/2+√3/2sin2wx =1/2+sin2wxcos30�0�2-cos2wxsin30�0�2 =1/2sin(2wx-30�0�2)+1/2 2π/2w=π w=12) 2x-30�0�2∈[-π/6,7π/6] f(x)∈[1/4,1]